İntegrali $\exp(-\|x\|_p)$

Question

$\newcommand{\RR}{\mathbb{R}}$ İzin Vermek $1 \leq p < \infty$ ve izin ver $d$pozitif bir tam sayı olabilir. Bunu göstermek istiyorum$$I := \int_{\RR^d} \exp\left(-\|x\|_p\right) dx = \frac{(2\Gamma(1/p))^d}{p^{d-1}}\frac{\Gamma(d)}{\Gamma(d/p)}.$$ Nedeniyle $L^p$norm, integrand radyal olarak simetrik değildir. Küresel koordinatlara dönüştürürsem, sonuçta$$I = \Gamma(d) \int_{S^{d-1}} \frac{d\sigma(x)}{\|x\|_p^d} $$ nerede $\sigma$küresel ölçüdür. Buradan nasıl ilerlemeliyim? Veya alternatif olarak bu integrali nasıl hesaplamalıyım? Ayrıntılı hesaplamaları takdir ediyorum!

Answer 1

Basit bir yaklaşım, bunu görmektir. $f$ aşağıdaki LHS'deki integral var olacak şekilde, elimizde $$\int_{\mathbb{R}^d}f(\|x\|_p)\,dx=K_{p,d}\int_0^\infty t^{d-1}f(t)\,dt,\tag{*}\label{maineq}$$ nerede $K_{p,d}$ bağlı değil $f$ (diyelim, biz değiştiriyoruz $x=tg(y)$ nerede $x=g(y)$ parametreleştirmesidir $\|x\|_p=1$; Jakoben böyle bir ikamenin biçimindedir$t^{d-1}h(y)$ biraz ile $h$ bağlı değil $t$).

Bulmak $K_{p,d}$, Biz seciyoruz $f$böylece \ eqref {maineq} 'in her iki tarafının da hesaplanması kolaydır. Al$f(t)=e^{-t^p}$: $$\int_{\mathbb{R}^d}f(\|x\|_p)\,dx=\left(\int_\mathbb{R} e^{-|x|^p}\,dx\right)^d=\big(2\Gamma(1/p)/p\big)^d,\\\int_0^\infty t^{d-1}f(t)\,dt=\int_0^\infty t^{d-1}e^{-t^p}\,dt=\Gamma(d/p)/p,$$ Böylece $K_{p,d}=\frac{2^d\Gamma^d(1/p)}{p^{d-1}\Gamma(d/p)}$. Cevabı almak için koymaya devam ediyor$f(t)=e^{-t}$ \ eqref {maineq} içinde.