"İşlev sınırı" tanımı eksik mi?
On Vikipedi bir fonksiyonun limiti tanımı $f$ öyle ki bir çıktı atar $f(x)$ her girdiye $x$ aşağıdaki gibi verilir:
Fonksiyonun bir sınırı olduğunu söylüyoruz $L$ bir girişte $p$, Eğer $f(x)$ yaklaşıyor ve yaklaşıyor $L$ gibi $x$ yaklaşır ve yaklaşır $p$.
Ama onunla bir sorunum var; Eğer$L$ (somut örnek için şunu söyleyin $5$) işlevin sınırı olarak seçilir, sonra yapamaz $L-0.1$ ($4.9$) veya $L-1$ ($4$) veya $L+1$ ($6$) ayrıca limit olarak seçilebilir mi?
Ne demek istediğimi açıklamama izin verin.
Yaklaşmak için "girdi" değeri yapılırsa $p$ daha sonra, verildiği gibi, çıktı da $L$, Ve aynı zamanda $L-0.1$, $L-1$..... öyleyse bizi sadece seçmeye iten şey $L$ "limit" olarak mı?
Bahsedilen özel, açık bir mülkiyet yoktur, bu da bizim seçim yapmamızı sağlar. $L$olarak sadece "sınır" ve ihmal diğer değerleri (ya da mu?) verilen giriş çıkış arasındaki düzeltme farkı, benzerleri ve sınır.
Yanıtlar
Ne zaman bir işlev $f$ ve bir sınır noktası $p$ verilir, daha sonra fonksiyon sınırının kendisi $\lim\limits_{x \to p}f(x)$ seçilemez - eğer varsa, fonksiyon limiti, fonksiyonun kendisi ve noktası tarafından benzersiz bir şekilde belirlenir. $p$ değişkenin eğiliminde olduğu.
Ayrıca şunu da söyleyeyim, tüm bu kelimeler "eğilimlidir", "yaklaşır", "yaklaşır ve yaklaşır" bir tür matematiksel anlam ifade eder - biçimsel tanım hakkında düşünmek daha iyidir: $$\forall \varepsilon >0, \exists \delta >0, \forall x, 0<|x-p|< \delta \Rightarrow |f(x)-L| < \varepsilon$$ bu nedenle sınırın varlığı, uygun koşullarda eşitsizliği korumaktır: "$x$ eğilimi $p$","$x$ yaklaşmak $p$"ilk eşitsizlik ve"$f(x)$ yaklaşmak $L$","$f(x)$ eğilimi $L$"ikinci anlamına gelir.
Diğer cevap, tanımı biçimsel matematiksel sembollerle verir, ancak iki şeyi vurgulamak istiyorum.
Birincisi, ilk başta bu biçimsel matematiksel sembolleri anlamak gerekli değildir, muhtemelen limitin anlamını, tanım sıradan bir dilde, bu durumda İngilizce dilinde, sadece birkaç eşitsizlikle yazıldığında daha kolay ve etkili bir şekilde öğrenebilirsiniz.
- Her gerçek sayı için $\epsilon > 0$ gerçek bir sayı var $\delta > 0$ öyle ki her gerçek sayı için $x$, Eğer $0 < |x-p| < \delta$ sonra $|f(x)-L| < \epsilon$.
İkinci olarak, gerçek anlayış sizden bu tanımı kullanmanız istendiğinde gelir: ya belirli bir limit formülünü kanıtlamak; ya da zaten doğru olduğu bilinen bazı limit formüllerini uygulamak ve başka bir şeyi kanıtlamak için kullanmak.
Öyleyse biraz daha ileri gidip genel olarak bir limit formülünü kanıtlama sürecini nasıl düşünebileceğinizi açıklayayım.
Eğer $f(x)$, ve $p$, ve $L$ size verilir ve bunu kanıtlamanız istenirse $L$ sınırı $f(x)$ gibi $x$ yaklaşımlar $p$, işte bunu kanıtlamak için gerçekten yapmanız gerekenler:
- Gerçek bir sayı olsun $\epsilon > 0$ verilecek.
- Sen gerekir bulmak uygun bir gerçek sayı$\delta > 0$ ve bunu kullanarak şunu kanıtlamalısınız: "eğer $0 < |x-a| < \delta$ sonra $|f(x)-L|<\epsilon$".
Bu süreci gerçekten sezgisel bir düzeyde eylem halinde görmek için, bunu bir meydan okuma oyunu olarak düşünmeyi seviyorum.
Düşmanınız size sunar $\epsilon$, belki tam bir değerle $\epsilon = .01$. Ve sonra düşman sana "Bahse girerim yapamazsın$|f(x)-L| < .01$ne kadar yakın olursa olsun $x$ için $p$!!! "
Bu nedenle, verilen formülü kullanarak şu zorluğu ele alıyorsunuz: $f(x)$ve verilen değeri $L$ve gerçek sayısal değer $\epsilon = .01$ Düşmanın size verdiği, önce gerçek bir sayısal değer bulursunuz $\delta > 0$(bir eşitsizliği çözmek kadar basit olabilir). Ardından, bu değeri kullanarak$\delta$kanıtlarsan eğer $0 < |x-a|<\delta$ sonra $|f(x)-L|<.01$.
Bunu düşmana göster ve sonra surat asarak, "Pshaw! Bu çok kolaydı. Bahse girerim bunu yapamazsın $\epsilon = .0001$! "
Yani yeniden meydan okumaya başlıyorsunuz: verilen formülü kullanarak $f(x)$ ve verilen değeri $L$bir değer buluyorsun $\delta > 0$ve bunu kanıtlamak için kullanıyorsun $0 < |x-a|<\delta$ sonra $|f(x)-L|<.0001$.
Sonra rakibiniz "Çok zeki olduğunu düşünüyorsun, işte nihai meydan okuma. Bahse girerim bunu yapamazsın $\epsilon = .0000000000000000000001$! "
O zamana kadar sabrınızı kaybediyorsunuz ve bu nedenle bu özel değeri görmezden geliyorsunuz .$\epsilon$ve bunun yerine şu şekilde ilerliyorsunuz: yalnızca sembolü kullanarak $\epsilon$ ve varsayımı $\epsilon > 0$, Bir bulmak formülü için$\delta > 0$, açısından ifade edilir $\epsilon$. Belki de formülü, önceki deneyimlerinizi kullanarak iki belirli sayısal değerle bulursunuz.$\epsilon$; belki eşitsizliği çözmek için daha karmaşık bir matematiksel süreçle bulursunuz$|f(x)-L| < \epsilon$. Öyle ya da böyle, bu formülü kullanarak$\delta$, sonra devam edin ve bunu kanıtlamak için kullanın: $0 < |x-a|<\delta$ sonra $|f(x)-L|<\epsilon$.
Ve düşmanınız dumanlar içinde kaybolur.
Öyleyse, tüm bu çekişmeli süreç sezgisel bir düzeyde nasıl tanımlanabilir? Belki bunun gibi bir şey:
Zorlayabiliriz $f(x)$ yakın olmak $L$ bizden istendiği gibi, alarak $x$ yakın $p$ istediğimiz gibi.
Veya daha da az sözcükle, bunun gibi (yani Wikipedia alıntı gibi):
$f(x)$ yaklaşıyor ve yaklaşıyor $L$, gibi $x$ yaklaşıyor ve yaklaşıyor $p$.
Bununla birlikte, şimdiye kadar bunun tam ve doğru bir matematiksel tanım olmadığını görebildiğinizi umuyorum : uygun konumlarında tüm nicelikler ve mutlak değerler ve eşitsizlikler olmadan, bu sezgisel tanım aslında size ne yapmanız gerektiğini söylemiyor limit formüllerini kanıtlamak veya uygulamak.
Bunu başarmak için, tüm bu "daha yakın ve daha yakın" şeylerin nicelikler, mutlak değerler ve eşitsizlikler kullanılarak doğru matematiksel ifadelerle resmileştirilmesi gerekir.