Jacobian dönüşüm

Question

In Bayes Veri Analizi , PDF serbestçe kullanılabilir , bölüm 4.1 (sayfa 84, alt) diyerek bir açıklama vardır:

Bunun yerine normal yaklaşımı inşa etseydik $p(\mu, \sigma^2)$ikinci türev matrisi, 'den dönüşümün Jacobian'ı ile çarpılacaktır. $\log\sigma$ -e $\sigma^2$ ve mod biraz değişerek $\tilde{\sigma}^2 = \frac{n}{n+2}\hat{\sigma}^2$.

Sorum şu: Jacobian'ı nasıl hesaplayacağız $\log\sigma$ -e $\sigma^2$? Bir işlevi diğerine göre ayırt edebilirim ancak modda belirtilen değişikliği uzlaştıramıyorum (bu da beni yanıldığımı düşündürüyor).

Şimdiden teşekkürler

Answer 1

Parametre dönüşümü için$$\eta\longmapsto\sigma^2=\exp\{2\eta\}$$Jacobian $$\frac{\text d\sigma^2}{\text d\eta}=2\exp\{2\eta\}=2\sigma^2$$ve sonradan gelen değişiklikler $p(\mu,\eta)$ içine$$p^\prime(\mu,\sigma^2)=p(\mu,\log(\sigma^2)/2)\times \frac{\text d\eta}{\text d\sigma^2} = p(\mu,\log(\sigma^2)/2) \frac{1}{2\sigma^2}$$modun konumunu değiştiren: $$\arg\max_{\mu,\sigma^2}p(\mu,\log(\sigma^2)/2)\ne \arg\max_{\mu,\sigma^2}p(\mu,\log(\sigma^2)/2)\frac{1}{2\sigma^2}$$ Yani, $$\hat\sigma^2 = \arg\max_{\sigma^2} \left\{-n\log \sigma-\frac{n \hat\sigma^2}{2\sigma^2}\right\}$$ karşı $${\tilde\sigma}^2 = \arg\max_{\sigma^2}\left\{-n\log \sigma-\frac{n \hat\sigma^2}{2\sigma^2}\underbrace{-\log \sigma^2}_{+\log \frac{\text d\eta}{\text d\sigma^2}}\right\}=\frac{n}{n+2}\hat\sigma^2$$