Kanıt $e^x - 1 \le e x$ için $x \in [0, 1]$

Question

Yakın tarihli bir makaleyi okurken eşitsizlikle karşılaştım: $e^x - 1 \le e x$ için $x \in [0, 1]$.

Bunu (tersi) Bernoulli eşitsizliğini kullanarak kanıtlamaya çalıştım. $(1 + y)^r \le 1 + ry$, için $r \in [0, 1], y \in [-1, \infty)$, burada . Burada ikameleri kullanarak$y = e - 1 \ge -1$ ve $r = x \in [0, 1]$. Bu şunu verdi: \ begin {hizala *} (1 + (e - 1)) ^ x & \ le 1 + x (e - 1) \\ \, e ^ x & \ le ex + (1 - x) \\ anlamına gelir \ iff e ^ x - 1 & \ le ex - x \\ \, e ^ x - 1 & \ le ex \ quad \ text {$x \in [0, 1] \Leftrightarrow - x \in [-1, 0]$} \ end {hizala *}

2 soru: İlk olarak, yukarıdaki kanıtla ilgili herhangi bir sorun var mı? İkincisi, bunu kanıtlamanın başka bir yolunu öneren var mı? Bu yazıda kullanılan bu tür pek çok lemma var, bu yüzden kontrol edilmesi düşünüldü.

Answer 1

Herhangi $x\in[0,1]$ sahibiz: $$(1+ex-e^x)'=e-e^x\geq0$$ Böylece, $$1+ex-e^x\geq1+e\cdot0-e^0=0.$$

Aşağıdakiler için Bernoulli'yi kullanabilirsiniz. $$(1+ex)^{\frac{1}{x}}\geq e$$ ancak orijinal eşitsizlikten önce kontrol etmek için $x=0.$

Answer 2

İçin $0\le x\le1$ sahibiz

$$e^x-1=\int_0^xe^t\,dt\le\int_0^xe\,dt=ex$$

dan beri $e^t$ artan bir fonksiyondur $t$ (ve $x\le1$).

Answer 3

İşte ortalama değer teoremini kullanan bir kanıt. Eşitsizlik için önemsizdir$x=0$. İçin$0 < x \leq 1, $ tanımlamak $$f: [0,x] \to \Bbb{R}: y \mapsto ey - e^y +1$$ Sonra $f'(y) = e-e^y \geq 0$ hepsi için $y \in [0,x]\subseteq [0,1]$. Ortalama değer teoremine göre,$\xi\in (0,x)$ ile

$$\frac{f(x)-f(0)}{x-0}= f'(\xi) \geq 0$$

Ama sonra $$0 \le\frac{f(x)-f(0)}{x-0}= \frac{ex-e^x+1}{x}$$ ve böylece $0 \leq ex-e^x+1 \iff e^x-1 \leq ex$ istediğiniz gibi.

Answer 4

Üstel ile ilgili belki de en çok yönlü eşitsizlik $$\tag1 e^t\ge 1+t$$ hepsi için $t\in \Bbb R$. İçin$x\ge0$ başvurabiliriz $\int_0^x\mathrm dx$ her iki tarafa da $$\tag2 e^x\ge 1+x+\frac12x^2.$$ Bundan, Dolayısıyla (en azından $0\le x\le 1$) $$\begin{align} (1+\tfrac32x)e^{-x}&\ge (1+\tfrac32x)(1-x+\tfrac12x^2)\\ &=1+\frac12x-x^2+\frac34x^3\\&=1+\frac x4(2(1-x)^2+x^2)\\&\ge1.\end{align}$$ İle çarparak $e^x$ ($>0$) ve yeniden düzenleme, $$e^x\le 1+\frac32x.$$ Senin lemman sonra $e>\frac32$.