Kanıtla $\mathbb{P}^1$ afin değil.

Question

Kanıtın son satırıyla kafam karıştı $\mathbb{P}^1$ Ravi Vakil'in cebirsel geometri notlarında sunulduğu gibi afin değildir.

İlk olarak, küresel bölümlerin halkasını hesaplar. Şekline dönüştü$\Gamma(\mathbb{P}^1,\mathcal{O}_{\mathbb{P}^1})=k$. Her şey yolunda. Kafamı karıştıran bir sonraki satır. Diyor ki: "Eğer$\mathbb{P}^1$ afinikti, o zaman olurdu $\operatorname{Spec}\Gamma(\mathbb{P}^1,\mathcal{O}_{\mathbb{P}^1})=\operatorname{Spec}k$yani bir puan. Ama öyle değil - pek çok anlamı var. "

Bu cümleyi ne yapacağımı bilmiyorum. İkinci eşitlikte, o sadece$\operatorname{Spec}$ilk eşitliğin her iki tarafının? Eğer öyleyse, bunun varsayımla ne alakası var?$\mathbb{P}^1$afin mi? Dahası, neden biliyoruz$\operatorname{Spec}\Gamma(\mathbb{P}^1,\mathcal{O}_{\mathbb{P}^1})$"çok puan" olmalı? Kısacası, burada neyi özlüyorum?

Düzenleme: Bağlanan soru sorumu yanıtlamıyor. Vakil tarafından verilen bu ispatta belirli bir satır soruyorum. Bağlantılı sorular sadece nedenini sorar $\mathbb{P}^1$genel olarak afin değildir. Dahası, orada verilen cevapların hiçbiri endişemi karşılamıyor. Seçilen cevap boyut teorisini kullanır; bu, boyut teorisi henüz tartışılmadığından Vakil'in aklında olan şey bu değildir.

Answer 1

Bu matematikte pek çok kez gündeme geldi. $\text{Spec } \Gamma(X, \mathcal{O}_X)$ afinizasyonu $X$; evrensel afin şema$X$ haritalar, yani $X$ bu evrensel haritadan afinidir $X \to \text{Spec } \Gamma(X, \mathcal{O}_X)$bir izomorfizmdir. Bu, eklerin genel özelliklerinden kaynaklanır; örneğin bu cevaba bakınız .

(Karşılaştır: abelyanizasyon $G/[G, G]$ bir grubun evrensel değişmeli grup olduğu $G$ haritalar, yani evrensel harita dışında bir grup değişmeli $G \to G/[G, G]$ bir izomorfizmdir.)

Ravi, afinizasyonunu hesaplar $\mathbb{P}^1$ bir nokta, yani $\mathbb{P}^1$Bir noktaya kanonik harita bir izomorfizm ise, bir nokta ise afinedir. Fakat$\mathbb{P}^1$ vardır $|L|+1$ herhangi bir alan uzantısı üzerinde puan $L$ nın-nin $k$ (Sanırım $k$ basitlik alanıdır ancak genel olarak benzer şeyler söylenebilir).