Kod boyut eşitsizliği

Question

İzin Vermek $N$ ve $R$ vektör uzayının alt uzayı olmak $X$(sonlu boyut gerekli değildir)$\DeclareMathOperator{\codim}{codim}$

Varsaymak $N\subset R \subset X$, eş boyut eşitsizliğini kanıtlayın:

$$\codim R \le \codim N$$

Boyut formülünü kullanırsak bu çok basittir: $\dim X = \dim N + \codim N = \dim R + \codim R\:$ (burada eş boyut olarak tanımlanır $\codim N = \dim(X/N)$ )

Bu formül olmadan bunu nasıl kanıtlayabilirim?

Answer 1

Gösterimi daha çok doğrusal cebirin ruhuna uygun bir şeye değiştireceğim. İzin Vermek$K$ keyfi bir alan olmak ve $V$ bir sol $K$alt uzayları olan vektör uzayı $U \leqslant_K U' \leqslant_K V$.

Kimlik haritası $\mathbf{1}_V$ haritalar $U$ -e $U'$ bu nedenle bölüm morfizmini tetikler $f \in \mathrm{Hom}_{\operatorname{K-\mathbf{Mod}}}(V/U, V/U')$ ilişkiyi tatmin eden $f \circ \sigma=\sigma'$, nerede $\sigma \colon V \to V/U$ ve $\sigma' \colon V \to V/U'$ilgili kanonik sureleri gösterir. Suretli bir haritanın bölümü olduğu için,$f$ kendisi örtendir ve biz de tanımlamayı kolayca elde edebiliriz $\mathrm{Ker}f=\sigma[U']=U'/U \leqslant_K V/U$.

Bu nedenle, temel (izo) morfizm teoremi sayesinde kişi şunu çıkarır: $$\left(V/U\right)/\left(U'/U\right) \approx V/U' \quad (\operatorname{K-\mathbf{Mod}}),$$ özellikle gerektirir $\mathrm{codim}_{V/U}(U'/U)=\mathrm{codim}_V(U')$.

Genel boyut-eş boyut ilişkisinden (herhangi bir alt uzay için, ortam uzayındaki boyutu ve eş boyutu arasındaki toplam, ortamın boyutudur) aşağıdakileri türetiyoruz: $$\mathrm{dim}_K (V/U)=\mathrm{dim}_{K}(V/U')+\mathrm{dim}_K(U'/U),$$ ki - eş boyutların tanımını dikkate alarak - daha açık bir şekilde şu şekilde yazılabilir: $$\mathrm{codim}_VU=\mathrm{codim}_{V}U'+\mathrm{codim}_{U'}U,$$ortak boyutların geçişkenliğinin iyi bilinen ilişkisi .

---

Burada bölüm morfizmlerinin varlığı için temel teoremden (kanıt olmadan) bahsedeceğim :

İzin Vermek $K$ ile keyfi bir alan olmak $V$, $V'$ iki sol $K$-vektör uzayları. İzin Vermek$f \in \mathrm{Hom}_{\operatorname{K-\mathbf{Mod}}}(V, V')$ olmak $K$-doğrusal harita (morfizmi $K$-vektör boşlukları) ve $U \leqslant_K \mathrm{Ker}f$ alt alanı olmak $U$ çekirdeğine dahil $f$. İzin Vermek$\sigma \colon V \to V/U$kanonik surjeksiyonu gösterir. Orada var olan eşsiz bir morfizmanın$g \in \mathrm{Hom}_{\operatorname{K-\mathbf{Mod}}}(V/U, V')$ öyle ki $f=\sigma \circ g$şu özelliklere sahip morfizm: $$\begin{align*} \mathrm{Ker}g&=(\mathrm{Ker}f)/U\\ \mathrm{Im}g&=\mathrm{Im}f. \end{align*}$$

Answer 2

Haritayı düşünün $f: X/N\to X/R $ ile tanımlanmış $x+N\mapsto x+R $. İyi tanımlanmış bir kuşatıcı haritadır. Yani sıra sıfır teoremine göre$$\dim(X/R)=\dim(X/N)-\dim(\ker f)\leq \dim(X/N).$$

Answer 3

Eğer $N\subseteq R$ sonra $X/N$ 'içeren' bir vektör uzayıdır $R/N$içinde $(X/N)/(R/N)\cong X/R$, izomorfizm teoremlerinden biriyle ($x+N\mapsto x+R$ Titreyen Askerin cevabında olduğu gibi).

Genel olarak, $\dim(V/W)\le\dim V$, dolayısıyla bunu takip eder $\mathrm{codim}(R)=\dim(X/R)\le\dim(X/N)=\mathrm{codim}(N)$.

Bu gerçeğin kanıtı: $v_i$ temelidir $V$ sonra $v_i+W$ açıklık $V/W$ (bariz) ve dolayısıyla boyutu $V/W$ sadece bundan daha az olabilir $V$.

Answer 4

Doğrusal haritaya göre $f: X/N\to X/R$ ,hangisi :

• iyi tanımlanmış
• örten
• doğrusal

Şimdi için temel set verildi $(X/R)$ yani $\{b_i|i\in I\}$, buna karşılık gelen ön görüntü noktalarından biri olduğunu görebiliriz, yani $\mathcal{X} = \{x_i|i\in I\}$ öyle ki $f(x_i) = b_i$

Şimdi bu set $\mathcal{X} $ doğrusal bağımsızdır, çünkü sonlu sume $\sum c_ix_i = 0$ o zaman harekete geç $f$ her iki tarafta da var $\sum c_ib_i = 0$ bu da hepsi anlamına geliyor $c_i = 0$.

Vektör uzayı için doğrusal bağımsız kümesi her zaman genişletebiliriz $L$ Bu vektör uzayının temel kümesine, arasında dahil etme haritasına sahibiz $\mathcal{X}$ ve temeli $X/N$ (bunu ifade etti $\mathcal{B}$).öyle ki $i:\mathcal{X} \to \mathcal{B}$.yani:

$$|I| = |\mathcal{X}| \le |\mathcal{B}|$$ kanıtı tamamlayan

Answer 5

Doğrusal olarak bağımsız kümenin sonsuz boyutlu bir vektör uzayında bir temele genişlemesini kullanmak belki daha kolay (yukarıdaki çeşitli bölüm temelli argümanlara gerçekten benzer olsa da) .

Temeli $N$, $\mathcal{N}$, bir temelde genişletilebilir $R$, $\mathcal{R}$, bir temelde genişletilebilir $X$, $\mathcal{X}$. Sonra$\mathcal{X} \smallsetminus \mathcal{R} \subseteq \mathcal{X} \smallsetminus \mathcal{N}$, gösterildiği gibi.