Kompakt İntegral operatör?

Question

İlginç bir doğrusal operatöre rastladım. Kompakt olup olmadığından emin değilim:$$ T: L^2([0, 1]) \rightarrow L^2([0, 1]), \quad (Tf)(x) := \int^1_0 (x-y)^2 f(y)~\mathrm{d}y. $$

Şu argümanı kullanmayı denedim: Let $(f_k)_{k \in \mathbb{N}} \subseteq L^2([0, 1])$ sınırlanmak ve izin vermek $(f_{n_k})_{k \in \mathbb{N}} \subseteq L^2([0, 1])$ zayıf sınırı olan bir alt dizi olmak $f \in L^2([0, 1])$. Sonra:$$ \lVert Tf_{n_k} - Tf \rVert_{L^2([0, 1])}^2 = \int_0^1 \left \lvert \int^1_0 (x-y)^2 (f_{n_k}(y) - f(y))~\mathrm{d}y \right \rvert^2 ~\mathrm{d}x \leq \sup_{x \in [0, 1]} \left \lvert \int^1_0 (x-y)^2 (f_{n_k}(y) - f(y))~\mathrm{d}y \right \rvert^2 $$ Hala bunu kanıtlayabilirim $\sup$ bazılarında elde edildi $x_{n_k} \in [0, 1]$ ama bu bağımlılıktan dolayı bana yardımcı olmuyor $n_k$. Aksi takdirde o noktada zayıf yakınsama kullanırdım.

Daha kolay bir yol var mı yoksa bu operatör kompakt mı?

Answer 1

Sonlu aşamalı bir operatördür ve dolayısıyla kompakttır: $$(Tf)(x)=A\,x^2-B\,x+C,$$ nerede $A=\int^1_0f(y)\,dy, B=2\int^1_0y\,f(y)\,dy, C=\int^1_0y^2\,f(y)\,dy$, bu nedenle sınırlı bir kümenin görüntüsü, 3 boyutlu bir alt uzayın sınırlı bir alt kümesidir. $L^2([0, 1])$.

Answer 2

Eğer $k(x,y)=a(x)b(y)$, nerede $a$ ve $b$ sürekli fonksiyonlardır $[0,1]$, sonra $$ \int_0^1 k(x,y) f(x)\, dx = \left(\int_0^1 a(x) f(x)\, dx\right) b(y) = \langle a,f\rangle b(y). $$ Bu nedenle integral operatörü $T_k$, integral çekirdek tarafından verilir $k$, tatmin eder $T_k(f) = \langle a,f\rangle b$ve sonuç olarak, $T_k$birinci derece bir operatör olarak görülüyor. Bunun yerine,$$ k(x,y)=\sum_{i=1}^na_i(x)b_i(y), \tag{1} $$ nerede $a_i$ ve $b_i$ yine sürekli fonksiyonlardır $[0,1]$karşılık gelen integral operatörü tatmin eder $$ T_k(f) = \sum_{i=1}^n \langle a_i,f\rangle b_i, \quad \forall f\in L^2[0,1], $$ yani rütbesi $T_k$ en fazla $n$, dolayısıyla sonlu.

Sonra bunu varsayarsak $k$ tek tip bir fonksiyon sınırıdır $k_n$ (1) formunda, bunu görmek zor değil $T_{k_n}\to T_k$operatör normunda, bu nedenle $T_k$ sonlu sıralı operatörlerin sınırı olduğu için kompakt bir operatördür.

Stone-Weierstrass Teoremi, alt kümesinin alt kümesini göstermek için kolayca çağrılabilir. $C([0,1]\times[0,1])$ Form (1) 'in tüm işlevleri tarafından oluşturulan yoğun olduğundan, yukarıdaki paragrafın sonucu herhangi bir sürekli $k$. Bu kanıtlıyor:

Teorem . Herhangi bir integral operatörü$L^2[0,1]$ sürekli bir entegre çekirdek ile kompakttır.