Lebesgue Türev Teoremi Tipi Problem

Question

Lebesgue farklılaşma teoreminin bir kanıtını okudum. $\mathbb{R}^n$ve kullandığım kitapta (Tao Ölçü Teorisi kitabı) ilgili bir alıştırma yapmayı denedim. Bunu çözemiyorum ve bazı ipuçları veya ipuçları almayı umuyordum:

Her biri için $h > 0$, İzin Vermek $E_h \subset B(0, h)$ öyle ki $m(E_h) \geq c \cdot m(B(0, h))$ bazı $c > 0$ hangisinden bağımsız $h$. Eğer$f \colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{C}$ yerel olarak entegre edilebilir, $x$ bir Lebesgue noktası $f$, sonra kanıtla $$\lim_{h \to 0} \frac{1}{m(E_h)} \int_{E_h + x} f(y) \, dy = f(x).$$

Bunun Lebesgue farklılaşma teoreminden (LDT) sonra gelen bir şey olduğunu biliyorum, ancak birkaç adımdan sonra nereye gideceğimi gerçekten bilmiyorum. Çeviri değişmezliği ile buna sahip olduğumuzu belirterek başladım$m(E_h) \geq c \cdot m(B(x, h))$ bu yüzden sahip olduğumuzdan beri $$\lim_{h \to 0} \frac{1}{m(B(x, h))} \int_{B(x, h)} f(y) \, dy = f(x),$$ LDT'ye göre şunu takip eder: $$\lim_{h \to 0} \frac{c}{m(E_h)} \int_{B(x, h)} f(y) \, dy \leq f(x),$$ama oradan nereye gideceğime dair sıfır fikrim var. İşleri daha da karmaşıklaştırmadan entegrasyon alanını nasıl değiştireceğimi bilmiyorum ve diğer eşitsizliği nasıl elde edeceğimi de bilmiyorum. Herhangi bir ipucu veya öneri harika olur!

Answer 1

Vay canına, bunu daha erken yapamadığım için kendimi aptal gibi hissediyorum ama boşver. Lebesgue ölçümünün çeviri değişmezliği ile, biz buna sahibiz$m(B(0, h)) = m(B(x, h))$ hepsi için $x \in \mathbb{R}^n$ dan beri $B(x, h) = x + B(0, h)$. Unutmayın eğer$E_h \subset B(0, h)$ sonra onu takip eder $x + E_h \subset B(x, h)$. Böylece, bu iki olguyu,$m(E_h) \geq c \cdot m(B(0, x))$ bazı $c > 0$bunu görüyoruz $m(E_h) \geq c \cdot m(B(x, h))$ hepsi için $x \in \mathbb{R}^n$. Sonra Lebesgue farklılaşma teoremine göre, buna sahibiz.

$$\lim_{h \to 0} \frac{c}{m(E_h)} \int_{B(x, h)} |f(y) - f(x)| \, dy \leq \lim_{h \to 0} \frac{1}{m(B(x, h)} \int_{B(x, h)} |f(y) - f(x)| \, dy = 0$$

Ve (E_h + x \ subset B (x, h) olduğundan, $ çıkış integrali negatif olmadığından, alan monotonluğuna göre

$$ \ lim_ {h \ ila 0} \ frac {c} {m (E_h)} \ int_ {x + E_h} | f (y) - f (x) | \, dy \ leq \ lim_ {h \ ila 0} \ frac {c} {m (E_h)} \ int_ {B (x, h)} | f (y) - f (x) | \, dy \ leq 0 $$

Ve tabii ki integrandimiz negatif olmadığından, bu şu anlama gelir:

$$ \ lim_ {h \ ila 0} \ frac {c} {m (E_h)} \ int_ {x + E_h} | f (y) = f (x) | \, dy = 0 \ Rightarrow \ lim_ {h \ ila 0} \ frac {1} {m (E_h)} \ int_ {x + E_h} | f (y) - f (x) | \, dy = 0, $$

anlamında

$$ \ left | \ lim_ {h \ to 0} \ frac {1} {m (E_h)} \ int_ {x + E_h} f (y) - f (x) \, dy \ right | \ leq \ lim_ {h \ ila 0} \ frac {1} {m (E_h)} \ int_ {x + E_h} | f (y) - f (x) | \, dy = 0, $$

ve böylece

$$ \ left | \ lim_ {h \ to 0} \ frac {1} {m (E_h)} \ int_ {x + E_h} f (y) - f (x) \, dy \ right | = 0 \ Sağa \ lim_ {h \ ila 0} \ frac {1} {m (E_h)} \ int_ {x + E_h} f (y) - f (x) \, dy = 0, $$

bu nedenle integralin doğrusallığı ile buna sahibiz

$$ \ lim_ {h \ to 0} \ frac {1} {m (E_h)} \ int_ {x + E_h} f (y) \, dy = \ lim_ {h \ to 0} \ frac {f (x )} {m (E_h)} \ int_ {x + E_h} \, dy = \ lim_ {h \ to 0} \ frac {f (x)} {m (E_h)} \ int _ {\ mathbb {R} ^ d} \ mathbb {1} _ {x + E_h} (y) \, dy $$

sağdaki integral açıkça , öteleme değişmezliği ile $ m (x + E_h) = m (E_h) $ 'a eşittir ve böylece bizde

$$ \ lim_ {h \ to 0} \ frac {1} {m (E_h)} \ int_ {x + E_h} f (y) \, dy = f (x) $$.