Markov Zincir Sınır Değeri

Question

Aşağıdaki Markov zincirine sahip olduğumu varsayalım. $X_0 > 0$ sabit bir sabittir ve her biri için $1 \leq n \in \mathbb{N}$ sahibiz $$X_n = \begin{cases} 1.5X_{n-1} & \text{with probability } 0.5 \\ rX_{n-1} & \text{with probability } 0.5 \end{cases} $$

Minimum değerini bulmak istiyorum $r$ öyle ki sınırlayıcı değeri $X_n$ büyüktür veya eşittir $X_0$, orijinal miktar. Bunu bir martingale yapmanın yeterli olacağını düşündüm (ör.$r = 0.5$) ancak bir simülasyon çalıştırdığımda sınırlayıcı değer her seferinde sıfırdır, bu yüzden açıkçası bu yanlıştır.

Bir değer arıyorum $r$ öyle ki sınır tam olarak $X_0$çünkü (tahmin ediyorum) daha büyük herhangi bir şey neredeyse kesin olarak sonsuz bir limite yol açacaktır. Yine de bu sorun bana mantıklı gelmiyor. Lütfen yapabilirseniz yardım edin.

Answer 1

Aslında genelleştirilmiş model hakkında çok şey söyleyebiliriz $$X_n=rX_{n-1}:\text{probability }=p$$ $$X_n=\frac{3}{2}X_{n-1}:\text{probability }=1-p$$İzin Vermek $K_{n}\sim\ \text{Binomial}(n,p)$ ve koy $X_{n}:=r^{K_n}\Big(\frac{3}{2}\Big)^{n-K_n}x_{0}$. Sezgisel olarak düşünebiliriz$K_n$ ardışık bir terimi ile çarptığımız sayıyı sayarak $r$bu rastgele süreçte. Durum ne zaman$r>1$ açık, öyleyse varsayalım ki $r\in (0,1]$. Ne zaman$n$ büyük, iki terimli dağılıma normal yaklaşımı kullanabilir ve sabit için çıkarım yapabiliriz $a>0$ o $$P(X_n > a)=P\Bigg(K_n < \frac{\ln(a/x_0)+n\ln(2/3)}{\ln(2r/3)}\Bigg)\approx \phi\Bigg(\frac{\ln(a/x_0)}{\sqrt{np(1-p)}\ln(2r/3)}+\sqrt{n}\cdot \frac{\ln(2/3)-p\ln(2r/3)}{\sqrt{p(1-p)}\ln(2r/3)}\Bigg)$$ nerede $\phi(x)=\int_{-\infty}^{x}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-t^2/2}dt$. Görürüz$$\lim_{n\rightarrow \infty}P(X_n>a)=1 \iff \frac{\ln(2/3)-p\ln(2r/3)}{\sqrt{p(1-p)}\ln(2r/3)}>0 \iff r>\Big(\frac{2}{3}\Big)^{\frac{1-p}{p}} $$ $$\lim_{n\rightarrow \infty}P(X_n<a)=1 \iff \frac{\ln(2/3)-p\ln(2r/3)}{\sqrt{p(1-p)}\ln(2r/3)}<0 \iff r<\Big(\frac{2}{3}\Big)^{\frac{1-p}{p}}$$ Açıkça $r=\Big(\frac{2}{3}\Big)^{\frac{1-p}{p}}$bu grafikte gösterilen eşiğimizdir . Alma$p=1/2$ verim $r=2/3$ gereğince, gerektiği gibi.

Answer 2

Hikayenin ahlaki, sürecinizin yakınlaşmaması gibi görünüyor. Açıklama aşağıdadır.

Süreci yazdığınız gibi ele alıyoruz $r = 2/3$.

İzin Vermek $P_i$ rastgele bir değişken olmak $2/3$ olasılıkla $1/2$, ve $3/2$ olasılıkla $1/2$. Rastgele değişkenle ilgileniyoruz$Z_n = \prod_{i = 1}^n P_i$ve nasıl elde edebileceğimizi bulmak istiyoruz $Z_n \to 1$ (bir anlamda), çünkü $X_n = Z_n X_0$ notasyonunuzda.

Düşünmek $\log(Z_n) = \sum_{i = 1}^n \log(P_i)$. Sonra her biri$\log(P_i) = \pm ( \log(3) - \log(2))$. Öyleyse, bölerek yeniden ölçeklendirdikten sonra$\log(3) - \log(2)$aşağıdaki süreci analiz edebiliriz:

$Y_i = \pm 1$olasılıkla $1/2$ her biri ve anlamak istiyoruz $S_n = \sum_{i = 0}^n Y_i$.

İyi, $S_n$ klasik bir rastgele yürüyüştür, yeniden ölçeklendirmediğiniz sürece dağıtımda bile birleşmez.

Öyleyse $X_n$ olasılıkta yakınsama veya neredeyse kesin, o zaman $S_n = \frac{1}{\log(3) - \log(2)} \log( X_n)$Ayrıca, uyguladığımız fonksiyon süreklidir ve bu yüzden bu teorem geçerlidir. Her durumda, basit rastgele yürüyüşün sonsuz tekrarından dolayı$\mathbb{Z}$, $X_n$ tüm olası değerleri sonsuz kez üstlenecek.

Bu bakış açısı aynı zamanda nedenini de açıklıyor $2/3$ dengeleme faktörüdür - başka herhangi bir faktör ve basit rastgele yürüyüş tarafında ya sonsuza ya da negatif sonsuzluğa doğru sürüklenirsiniz.