Matris seti bir halkadır

Question

İlk problem: \ begin {pmatrix} x & y \\ ry & x \ end {pmatrix} matris setim var, burada,$x,y \in R$, $R$ bir yüzük ve $r$ sabit bir unsurdur $R$. Bu kümenin matris çarpımı ve toplamasına göre bir halka olduğunu kanıtlamam gerekiyor.

Benim girişimim:

1. Ekleme açısından değişmeli bir grup olduğunu göstermem gerekiyor.

1.1) İlişkilendirme oldukça basittir

1.2) Kimlik unsurunu belirlemem gerekiyor. Buradaki kimlik öğesi$$\begin{pmatrix} x & y \\ ry & x \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} e & e \\ re & e \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} x & y \\ ry & x \end{pmatrix} $$

nerede $e$ kimlik öğesidir $R$

1.3) Ters elemanın belirlenmesi gerekiyor

$$\begin{pmatrix} x & y \\ ry & x \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -x & -y \\ r(e-y) & -x \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} e & e \\ re & e \end{pmatrix}$$ 1.4) + ile ilgili grup değişmeli

1. Çarpmanın toplamaya göre dağıtıcı olduğunu kanıtlamak için sadece matris çarpımı yapmamız gerekiyor, burada özel bir şey yok.

İlk durumda bir şey mi kaçırıyorum?

İkinci problem: Başka bir matris setim var: $$\frac{1}{2} \begin{pmatrix} x & y \\ ay & x \end{pmatrix}$$

nerede $a \in Z$ ve asalın karesine bölünemez ve $x,y \in Z$aynı pariteye sahip. Bu koşullar ispatı nasıl etkiler? Kanıtla herhangi bir farklılık görmüyorum eğer$x,y,a \in Z$.

Answer 1

İlk kanıtınız doğru gözüküyor (Toplama ve çarpma altında kaplanmış olanı ekleyebilirsiniz).

İkinci problem için, şuna sahipsiniz: $$\frac{1}{2} \begin{pmatrix} x & y\\ ay & x \end{pmatrix}\frac{1}{2} \begin{pmatrix} x' & y'\\ ay' & x' \end{pmatrix}=\frac{1}{2} \begin{pmatrix} \frac{xx'+ayy'}{2} & \frac{xy'+yx'}{2}\\ a\frac{xy'+yx'}{2} & \frac{xx'+ayy'}{2} \end{pmatrix} $$

Kontrol etmelisin $\frac{xx'+ayy'}{2}\in\mathbb{Z}$ ve $\frac{xy'+yx'}{2}\in \mathbb{Z}$yani bunun için bunu kullanmalısın $a$ asalın karesine bölünemez ve $x$, $y$ aynı pariteye sahip.