Meme kanseri olasılığı

Question

Bir süredir çözmeye çalıştığım bir olasılık problemiyle ilgili sorun yaşıyorum. Göğüs kanseri testinin doğruluğu ile ilgili. İlgili olasılıklar aşağıda listelenmiştir, burada:

1. "$\text{cancer}$"meme kanseri olma" olayıdır.
2. "$+$"meme kanseri için pozitif test" olaydır.

$P(\text{cancer}) = \frac{12}{1000}$

$P(+|\text{cancer}) = \frac{11}{12}$

$P(+) = \frac{31}{1000}$

$P(\text{cancer}|+) = 0.355$

Bu son satır, önceki bir sorunun sonucudur. Sonraki bölüm kanser olma olasılığını güncellemeyi içeriyor, ancak cevabın ne olduğunu bulmakta güçlük çekiyorum.

Sorunun bir sonraki bölümünde, test sonucu pozitif çıkan bir kadın var ve doktoru,% 40 meme kanseri olasılığı olan bir nüfusun parçası olduğunu söylüyor.

Kadının kanser olma olasılığını bulmalıyım.

Kanser olasılığına yapılan bu güncellemeyle kafam karıştı, ancak bunun şu anlama geldiğini varsayacağım $P(\text{cancer})$ değişti.

Ayrıca bunun için yeni bir değer bulmam gerektiği anlamına geldiğini varsayıyorum $P(\text{cancer}|+)$ama bunu doğru anlamıyorum.

$P(+ | \text{cancer}) = \frac{11}{12} = \frac{P(\text{cancer} | +)\cdot P(+)}{P(\text{cancer})} = \frac{P(\text{cancer} | +) \cdot \frac{31}{1000}}{0.40}$

$P(\text{cancer} | +) = \frac{11}{12} \cdot 0.40 \cdot \frac{1000}{31} = 11.828$

Sonuç doğru olamaz çünkü 1'in çok üzerinde.

Bunu nasıl düzeltebilirim? Herhangi bir anlayış için şimdiden teşekkür ederim.

Answer 1

Bayes Teoremine göre:

$$P(cancer|+) = \frac{P(+|cancer) P(cancer)}{P(+)}$$

Nerede $$P(+) = P(+|cancer)P(cancer)+ P(+|no-cancer)P(no-cancer)$$ $$P(+|cancer) = \frac{11}{12}$$ $$P(cancer) = \frac{4}{10}$$ Bu nedenle, $$P(cancer|+) = {\frac{11}{12} \cdot \frac{4}{10} \over \frac{11}{12} \cdot \frac{4}{10} + \frac{6}{10} \cdot P(+|no-cancer)}$$

Test için yanlış pozitif oranını bulmak için, P (+ | kansersiz), genel popülasyondaki bilgileri kullanabiliriz. $P(+)= \frac{31}{1000}$ ve şu $P(cancer) = \frac{12}{1000}$. Sonra,$$ \frac{31}{1000} = \frac{11}{12} \cdot \frac{12}{1000} + P(+|no-cancer) \cdot \frac{988}{1000} $$ Almak için yeniden düzenleyin $$ P(+|no-cancer) = \frac{5}{247}$$

Bunu önceki denkleme geri takın. $$P(cancer|+) = \frac{2717}{2807} \approx 0.968$$

Answer 2

Sorunuzun başında verilen rakamları kontrol etmek için:

\begin{align*} P(\text{cancer}|+) &= \frac{P(+|\text{cancer}) \cdot P(\text{cancer})}{P(+)} \\ &= \frac{\frac{11}{12} \cdot \frac{12}{1000}}{\frac{31}{1000}} \\ &= \frac{11}{31} \\ &\approx 0.355 \end{align*}

Yani en azından bu kısım doğru.

Şimdi, değiştiğinde ne olur $P(\text{cancer})$ -e $0.40$, ama tut $P(+|\text{cancer}) = \frac{11}{12}$ ve $P(+) = \frac{31}{1000}$? Bunu zaten hesapladınız, ancak hesaplamanızı yazmanın daha doğrudan bir yolu var:

\begin{align*} P(\text{cancer}|+) &= \frac{P(+|\text{cancer}) \cdot P(\text{cancer})}{P(+)} \\ &= \frac{\frac{11}{12} \cdot 0.40}{\frac{31}{1000}} \\ &= \frac{11}{12} \cdot 0.40 \cdot \frac{1000}{31} \\ &\approx 11.828 \end{align*}

Bu hesaplama, bu olasılık kombinasyonunun işe yaramadığını göstermektedir. Bu sonuç doğru, ama neden?

İşte basit bir açıklama: Artan $P(\text{cancer})$ ama tutmak $P(+|\text{cancer})$ aynı artışlar $P(\text{cancer} \cap +)$. Aslında, bu durumda,

\begin{align*} P(\text{cancer} \cap +) &= P(\text{cancer}) \cdot P(+|\text{cancer}) \\ &= 0.40 \cdot \frac{11}{12} \\ &> \frac{1}{3} \\ &\gg \frac{31}{1000} \\ &= P(+) \end{align*}

Öyleyse ne yapmalısınız ? Bu kadar belirsiz bir sorudan söylemek zor. Benim tahminim tutmak$P(+|\text{cancer})$ ve $P(+|\neg \text{cancer})$ orijinal durumdakiyle aynı (çünkü bunlar yalnızca teste bağlı olmalı ve bu nedenle kanser dağılımından bağımsız olmalıdır):

\begin{align*} P(+|\text{cancer}) &= \frac{11}{12} \\ P(\neg \text{cancer}) &= 1 - P(\text{cancer}) \\ &= \frac{988}{1000} \\ P(\text{cancer} \cap +) &= P(\text{cancer}) \cdot P(+|\text{cancer}) \\ &= \frac{12}{1000} \cdot \frac{11}{12} \\ &= \frac{11}{1000} \\ P(\neg \text{cancer} \cap +) &= P(+) - P(\text{cancer} \cap +) \\ &= \frac{31}{1000} - \frac{11}{1000} \\ &= \frac{20}{1000} \\ P(+|\neg \text{cancer}) &= \frac{P(\neg \text{cancer} \cap +)}{P(\neg \text{cancer})} \\ &= \frac{\left( \frac{20}{1000} \right)}{\left( \frac{988}{1000} \right)} \\ &= \frac{5}{247} \end{align*}

(Burada büyük bir kırmızı bayrak var: görünüşe göre, bu test hem yanlış pozitif hem de yanlış negatif oranları en aza indirme mucizesini gerçekleştirdi. Ama daha iyi bir şey görmüyorum, bu yüzden orijinal yoluma devam edeceğim.)

Bu değerleri uygulamak $P(+|\text{cancer})$ ve $P(+|\neg \text{cancer})$ yeni değerine $P(\text{cancer}) = 0.40$ yeni bir değer verir $P(+)$:

\begin{align*} P(\neg \text{cancer}) &= 1 - P(\text{cancer}) \\ &= 0.60 \\ P(\text{cancer} \cap +) &= P(\text{cancer}) \cdot P(+|\text{cancer}) \\ &= 0.40 \cdot \frac{11}{12} \\ &= \frac{11}{30} \\ P(\neg \text{cancer} \cap +) &= P(\neg \text{cancer}) \cdot P(+|\neg \text{cancer}) \\ &= 0.60 \cdot \frac{5}{247} \\ &= \frac{3}{247} \\ P(+) &= P(\text{cancer} \cap +) + P(\neg \text{cancer} \cap +) \\ &= \frac{11}{30} + \frac{3}{247} \\ &= \frac{2807}{7410} \end{align*}

Şimdi Bayes teoremini bu yeni değerle uygulayabiliriz $P(+)$:

\begin{align*} P(\text{cancer}|+) &= \frac{P(+|\text{cancer}) \cdot P(\text{cancer})}{P(+)} \\ &= \frac{\frac{11}{12} \cdot 0.40}{\frac{2807}{7410}} \\ &\approx 0.968 \end{align*}

Son olarak, bu cevabın makul olup olmadığını düşünelim. Mucize testimizin yanlış sonuç oranı düşük olduğundan, şunları bekleriz:

$$P(\text{cancer}|+) \approx 1 \tag{1}$$

Orijinal değeri ile $P(\text{cancer}) = \frac{12}{1000}$, yaklaşım $(1)$ yanlıştı çünkü $P(\neg \text{cancer})$ o kadar yüksekti ki, düşük bir yanlış pozitif oranı bile yüksek sayıda yanlış pozitif sonuçlanır (test edilen kişi sayısına kıyasla) - bu durumda, yanlış negatiflerin sayısından daha yüksektir.

Ama yeni değeriyle $P(\text{cancer}) = 0.40$, yaklaşım $(1)$doğru. Ya da en azından eskisinden çok daha iyi bir yaklaşım.

Dolayısıyla bu cevap makul görünüyor.

Answer 3

Bu durumda, önceki değerin $P(+)$ uygulanabilir değildir (çok yatak testidir ve $3.1\%$ gerçek bir şansın olduğu bir popülasyonda pozitif olma şansı $40\%$). Dahası, bu durumla çelişiyor$P(+ | cancer) = \frac{11}{12}$çünkü o zaman $P(+)$ en azından $\frac{11}{12}\cdot 0.4>0.031$.

Şu değerleri varsaymak doğaldır: $P(+|cancer)$ ve $P(cancer|+)$testin verimliliğini ve güvenilirliğini yansıtır. Bir test prosedürünün izole edilmiş bir numuneyle ilgilenmesini bekliyorum, bu yüzden kanser yayılmasında bağımsızdır. Ama bu değerleri saklarsak olasılık$P’(cancer|+)$ kadının meme kanseri olması $P(cancer|+)$ve bilgi $P’(cancer)=0.4$ gereksizdir.

Bu nedenle, test prosedürünün yalnızca $P(+|cancer)$ ve $P(+|\neg cancer)$. Verilen olasılıklardan sonra

$$\frac{31}{1000}=P(+)=P(+|cancer)P(cancer)+ P(+|\neg cancer)P(\neg cancer)=$$ $$ \frac{11}{12}\cdot \frac{12}{1000}+ P(+|\neg cancer) \cdot \frac{988}{1000},$$

yani $P(+|\neg cancer)=\frac 5{247}$.

Sonra

$$P’(+)=P(+|cancer)P’(cancer)+ P(+|\neg cancer)P’(\neg cancer)= \frac{11}{12}\cdot 0.4+\frac 5{247}\cdot 0.6=\frac {2807}{7410}.$$

Dan beri $P’(cancer|+) P’(+)=P’(cancer\, \&\, +)= P’(+|cancer) P’(cancer),$ sahibiz

$$P’(cancer|+)=\frac{ P’(+|cancer) P’(cancer)}{P’(+)}=\frac{\frac{11}{12}\cdot 0.4}{\frac {2807}{7410}}=\frac {2717}{2807}\approx 0.968.$$

Answer 4

İşleri "normalleştirerek" bunu kolaylaştırmaya çalışacağım. Diyelim ki var$12000$insanlar (bu sayı her şeyi tam sayı yapacak - zaten bu ilk bölüm için). İşte bildiklerimiz:

• $\frac{12}{1000}$ kanser var: $144$ insanlar
• Kanser testi pozitif olan 12 kişiden 11'i: $132$ pozitif testler ve $12$ yanlış negatifler
• $\frac{31}{1000}$ kanser için pozitif test: $372$ pozitifler (araçlar $240$ yanlış pozitifler)
• Anlamına geliyor $p(\text{cancer}|+) = \frac{132}{372} = \frac{11}{31} \approx 0.355$ (ve bu sonuç Bayes'in Teoreminden alınmıştır: $p(\text{cancer}|+) = \frac{p(+ | \text{cancer})p(\text{cancer})}{p(+)} = \left(\frac{11}{12}\cdot \frac{12}{1000}\right)\cdot\frac{1000}{31}$)

Şimdi bana ortalama olmayan bir gruba girdiğini söylüyorsun ($1.2\%$) ancak çok daha büyük bir grup: $40\%$. Yapmamız gereken kesin, gerçek bir dünya var ve bu da testin doğruluğunun değişmediğidir. Gerçek dünyada durum böyle olmayabilir. Farklı grupların bir test için farklı doğruluklar elde etmesi muhtemeldir.

Öyleyse "aynı doğruluk" ile ne demek istiyorum? Bir testin iki olası sonucu vardır:

1. $\text{# positive results} = \text{# true positives} +\text{# false positives}$
2. $\text{# negative results} = \text{# true negatives} + \text{# false negatives}$

Yanlış negatiflerin ve yanlış pozitiflerin oranları aynı kalmalıdır (gerçek negatiflerin ve gerçek pozitiflerin sayısı nüfus tarafından belirlenecektir). Bu, testin aynı doğruluğa sahip olacağı varsayımıdır .

Öyleyse şimdi yukarıdaki gibi devam edelim, ancak pozitif testlerin sayısını verilen olmak yerine bulmamız gerek:

• $\frac{4}{10}$ kanser var: $4800$ insanlar
• $11$ nın-nin $12$ kanserli insanlar hala pozitif test yapıyor: $4400$ pozitif testler ($400$ yanlış negatifler - yanlış negatif oranının bu varsayımla aynı kaldığını unutmayın).

Sonraki bölümde, kaç tane yanlış pozitif alacağımızı tahmin etmemiz gerekiyor. Aynı oranda olduğunu varsayarsak. Şimdi şunu düşünün: yanlış pozitifler nereden geliyor? Negatif olması gereken insanlardan geliyorlar . Orijinal örnekte,$11856$ test edilenlerin kanseri olmayan insanlar, $240$ pozitif geri geldi, bu nedenle yanlış pozitif oranı: $\frac{240}{11856} = \frac{5}{247}$. Bu temsil eder$p(+|\neg \text{cancer})$. Bunu çözmek biraz zor olabilir (ancak yukarıdakiler biraz fikir vermelidir):

\begin{align*} p(+) = p(+|\text{cancer})p(\text{cancer}) + p(+|\neg\text{cancer})p(\neg\text{cancer})\\ \frac{31}{1000} = \frac{11}{12}\frac{12}{1000} + x*\left(1 - \frac{12}{1000}\right) \end{align*}

Sadece kurtulalım $1000$:

\begin{align*} 31 = 11 + 1000x - 12x \leadsto 20 = 1000x - 12x &&\text{divide everything by 4}\\ 5 = 250x - 3x \leadsto x = \frac{5}{247} && \text{q.e.d.} \end{align*}

Tamam, örneğe dönelim. Biliyoruz$\frac{5}{247}$ Kanseri olmayan insanların% 'si test (yanlış olarak) pozitif olacak, bu yüzden şimdi kaç tane olduğunu buluyoruz:

$$ \frac{5}{247}\cdot 7200 \approx 145.75\ \text{false positives} $$

Toplam pozitif sayısı yaklaşık olarak $4400 + 145.75 = 4545.75$. Şimdi aynen yukarıda yaptığımız gibi yapıyoruz:$4400$ gerçek pozitifler$4545.75$ toplam pozitifler:

$$ p(\text{cancer}|+) \approx \frac{4400}{4545.75} \approx 96.79\% $$

Ancak yanlış pozitif oranı nasıl bulduğumuzdan, olasılıkları kullanarak bunu nasıl çözeceğimizi görebilirsiniz:

\begin{align*} p(+) =&\ p(+|\text{cancer})p(\text{cancer}) + p(+|\neg\text{cancer})p(\neg\text{cancer}) \\ x =&\ \frac{11}{12}\frac{2}{5} + \frac{5}{247}\frac{3}{5} \\ =&\ \frac{11}{30} + \frac{3}{247} = \frac{2807}{7410} \end{align*}

Ve son olarak, Bayes Teoremini tekrar kullanarak:

\begin{align*} p(\text{cancer}|+) =&\ \frac{p(+|\text{cancer})p(\text{cancer})}{p(+)} = \frac{\frac{11}{12}\cdot\frac{2}{5}}{\frac{2807}{7410}} \\ =&\ \frac{11}{30}\cdot\frac{7410}{2807} = \frac{11\cdot 247}{2807} \\ =&\ \frac{2717}{2807} \approx 96.79 \% \end{align*}