Minimum çözülemeyen gruplar

Question

"Minimum çözülebilir olmayan grup" ile, tüm uygun alt grupları çözülebilir olan çözülebilir olmayan bir grubu kastediyorum.

Aşağıdaki önerme için bir kanıta veya karşı örneğe ihtiyacım var:

İzin Vermek $G$Sonlu minimal çözülemeyen bir grup olabilir. Ardından aşağıdakilerden biri gerçekleşir:

(a) $G$ sonlu değişmeli olmayan basit bir gruptur;

(b) $G$ birincil sipariş normal alt grubuna sahiptir $N$, bölüm grubu $\dfrac{G}{N}$ sonlu değişmeli olmayan basit bir gruptur.

Şimdiden teşekkür ederim

Answer 1

Bu doğru değil. Karşı örnek, bölünmemiş bir uzantıdır$2^3.L_3(2)$ temel değişmeli düzen grubunun $8$ basit grup tarafından ${\rm SL}(3,2)$.

Sonra $G$ normal bir alt grubu var $N$ ile $G/N$ basit, ama $N$ asal sıraya sahip değil.