Minimum değer $\frac{\sin((2k+1)x)}{\sin(x)}$
Minimum fonksiyonun bir tahminine ihtiyacım var $\frac{\sin((2k+1)x)}{\sin(x)}, k\in\mathbb{N}$. Zaten türevin sıfırlarını hesaplamaya çalıştım ama bu imkansız görünüyor. Örneğin vakayı planlıyorsanız$k=3$ böylece durum hakkında bir sezgiye sahip olabilirsiniz, göreceksiniz ki, fonksiyonun sıfırdan geçtiği ilk aralıkta minimuma ulaşıldığının çok açık olduğunu göreceksiniz.
Yanıtlar
Öneri: Bilinen gerçeklere göre ,
$$f(x):=\frac{\sin((2k+1)x)}{\sin x}=\sum_{r=0}^{k}(-1)^r{2k+1 \choose 2r+1}\cos^{2k-2r}x \sin^{2r}x$$
Şimdi, Taylor serisini kullanarak $\cos x$ ve $\sin x$ keyfi bir nokta hakkında $a$, sahibiz
$$\sum_{r=0}^{k}(-1)^r{2k+1 \choose 2r+1}\cos^{2k-2r}x \sin^{2r}x \approx\\ \approx\sum_{r=0}^{k}(-1)^r{2k+1 \choose 2r+1}\left( 1-\frac{(x-a)^2}{2} \right)^{2k-2r}\left((x-a)-\frac{(x-a)^3}{6}\right)^{2r}$$
Bunun sizin durumunuza gerçekten yardımcı olup olmadığından emin değilim, ama bu bir polinom.
Belki sorunuzu yanlış anlıyorum, ancak fonksiyonunuzun türevini alırım:
$f'(x) = \csc(x) \sin((2 k + 1) x)$
Türev biraz can sıkıcı ama tembel olduğum için sıfırları bulmak için sembolik bir matematik paketi kullandım:
Eğer $(2 k + 1) \sin((π (2 n + 1))/(2 k + 1)) \neq 0,~ x = (π (2 n + 1))/(2 k + 1), ~n \in Z$
Eğer $\sin((2 π n)/(2 k + 1))\neq 0,~ 2 k + 1 \neq 0, ~x = (2 π n)/(2 k + 1), n \in Z$
Üzgünüm yanıtı doğru şekilde biçimlendirmedim ...
Benim mütevazi görüşüme göre, temel sorun ilk olarak ilk asgari nerede bulunduğunu bulmaktır.
Sahibiz $$f(x)=\frac{\sin[(2k+1)x]}{\sin(x)}$$ $$f'(x)=\csc (x) ((2 k+1) \cos (2 k x+x)-\cot (x) \sin (2 k x+x))$$ Süreksizliklerden kurtulmak için çarpın $\sin^2(x)$ ve basitleştirmelerden sonra, fonksiyonun ilk sıfırını bulma problemiyle baş başa kalıyoruz $$g(x)=k \sin [2 (k+1) x]-(k+1) \sin [2 k x]$$ Minimum $f(x)$ardışık iki sıfır arasında görünmelidir; bu nedenle, aralığın orta noktasından başlayan Newton yönteminin ilk iterasyonu tahmini verir $$x_0=\frac{3 \pi }{2 (2 k+1)}-\frac{(k+1) \sin \left(\frac{3 \pi k}{2 k+1}\right)-k \sin \left(\frac{3 \pi (k+1)}{2 k+1}\right)}{2 k (k+1) \left(\cos \left(\frac{3 \pi k}{2 k+1}\right)+\cos \left(\frac{\pi (k+2)}{2 k+1}\right)\right)}$$
Bu yaklaşımı sayısal değerlerle kullanarak, "büyük" değerler için $k$ $$g(x_0)=0.0297514-\frac {0.180696} {k^2}+O\left(\frac{1}{k^3}\right)$$
Birkaç değer kontrol ediliyor $$\left( \begin{array}{ccc} k & \text{estimate} & \text{exact} \\ 2 & 0.912205 & 0.911738 \\ 3 & 0.647074 & 0.646472 \\ 4 & 0.501948 & 0.501375 \\ 5 & 0.410152 & 0.409636 \\ 6 & 0.346796 & 0.346337 \\ 7 & 0.300420 & 0.300008 \\ 8 & 0.264996 & 0.264625 \\ 9 & 0.237051 & 0.236715 \\ 10 & 0.214442 & 0.214134 \\ 11 & 0.195772 & 0.195489 \\ 12 & 0.180095 & 0.179833 \\ 13 & 0.166743 & 0.166499 \\ 14 & 0.155235 & 0.155007 \\ 15 & 0.145213 & 0.144999 \\ 16 & 0.136407 & 0.136206 \\ 17 & 0.128608 & 0.128418 \\ 18 & 0.121653 & 0.121473 \\ 19 & 0.115412 & 0.115241 \\ 20 & 0.109780 & 0.109617 \end{array} \right)$$
Bu makul görünüyor. Şimdi, minimumun yaklaşık değeri şu şekilde verilmiştir:$f(x_0)$.
Minimum değeri hesaplamak
$$\left( \begin{array}{ccc} k & \text{estimate} & \text{exact} \\ 2 & -1.25000 & -1.25000 \\ 3 & -1.63112 & -1.63113 \\ 4 & -2.03909 & -2.03912 \\ 5 & -2.45750 & -2.45754 \\ 6 & -2.88113 & -2.88118\\ 7 & -3.30777 & -3.30783 \\ 8 & -3.73630 & -3.73638\\ 9 & -4.16612 & -4.16620\\ 10 & -4.59683 & -4.59693 \\ 11 & -5.02821 & -5.02832 \\ 12 & -5.46009 & -5.46021 \\ 13 & -5.89236 & -5.89248 \\ 14 & -6.32493 & -6.32506 \\ 15 & -6.75774 & -6.75789 \\ 16 & -7.19076 & -7.19092 \\ 17 & -7.62394 & -7.62411 \\ 18 & -8.05726 & -8.05744 \\ 19 & -8.49070 & -8.49089 \\ 20 & -8.92424 & -8.92444 \end{array} \right)$$
Ne zaman $k$ büyük, biz var $$x_{min}=\frac{9 \pi ^2-4 }{24 \pi }\times\frac{2k-1}{k^2}+O\left(\frac{1}{k^3}\right)$$ $$ f(x_{min})=-\frac{6 \pi \cos \left(\frac{2}{3 \pi }\right)}{9 \pi ^2-4}\times(2 k+1)+O\left(\frac{1}{k}\right)$$
Düzenle
Newton yöntemi yerine orijinal Halley yöntemini kullanırsak, şunu almalıyız $$x_0=\frac{3 \pi }{2 (2 k+1)}+\frac{(1-k) \sin \left(\frac{3 \pi }{2 k+1}\right)+(k+1) \sin \left(\frac{6 \pi k}{2 k+1}\right)}{1-8 k (k+1)-k (k+1) \cos \left(\frac{6 \pi k}{2 k+1}\right)+(7k^2+7k+1) \cos \left(\frac{3 \pi }{2 k+1}\right)}$$ hangisi için $k=2$ verirdi $x_0=0.911869$ bu önemli bir gelişmedir.
Bu yaklaşımı sayısal değerlerle kullanarak, "büyük" değerler için $k$ $$g(x_0)=0.00827069-\frac {0.0503307} {k^2}+O\left(\frac{1}{k^3}\right)$$ neredeyse $3.6$ öncekinden kat daha küçük.
Ne zaman $k$ büyük, şimdi sahibiz $$x_{min}=\frac{9 \pi \left(3 \pi ^2-2\right)}{8 \left(9 \pi ^2-2\right)}\times\frac{2k-1}{k^2}+O\left(\frac{1}{k^3}\right)$$ $$ f(x_{min})=-\frac{2 \left(9 \pi ^2-2\right) \cos \left(\frac{6 \pi }{2-9 \pi ^2}\right)}{9 \pi \left(3 \pi ^2-2\right)}\times(2 k+1)+O\left(\frac{1}{k}\right)$$