Mininal sol idealleri $M_n(\mathbb{C})$

Question

İzin Vermek $M_n(\mathbb{C})$ yüzüğü olmak $n\times n$karmaşık girişli matrisler. İzin Vermek$I$ minimal sol ideal olmak $M_n(\mathbb{C})$. Olduğunu nasıl kanıtlayabilirim$i\in\{1,\ldots,n\}$ öyle ki $I$ sıfır sütun içeren matrisler kümesidir, muhtemelen $i$inci?

Ben kullanmaya çalıştı bu , bunun çok alamadım. Herhangi bir yardım?

Fulton-Harris'ten bu gerçeği kullanıyor gibi görünen aşağıdaki kanıtı anlamaya çalışıyorum.

Answer 1

Yapamazsınız çünkü bu teklif yanlıştır.

Örneğin, $\left\{\begin{bmatrix}a& a\\ b&b\end{bmatrix}\middle|\,a,b\in\mathbb C\right\}$ minimal bir sol idealdir ve tarif ettiğiniz biçimde değildir.

Neden minimal olduğunu görmek için yardıma mı ihtiyacınız var? Ben buna katılıyorum

$$ L=\left\{\begin{bmatrix}a& 0\\ b&0\end{bmatrix}\middle|\,a,b\in\mathbb C\right\} $$ aynı zamanda minimal bir sol ideal ve benim önerdiğim ideal $Lu$ nerede $u$ birim $\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}$, bu nedenle ikisi izomorfiktir $M_2(\mathbb C)$ modüller.