Munkres Topolojisi - Teorem 15.2

Question

Munkres'in Topoloji Teoremi 15.2 şöyle der:

Koleksiyon $$\mathcal{S} = \{\pi_1^{-1}(U)|U \text{ open in X}\} \cup \{\pi_2^{-1}(V)|V \text{ open in Y}\}$$ ürün topolojisi için bir alt temeldir $X \times Y$.

O tanımladı $\pi_1:X \times Y \rightarrow X$ tarafından $\pi_1(x,y)=x$ ve benzer şekilde $\pi_2: X \times Y \rightarrow Y$ tarafından $\pi_2(x,y)=y.$

Görünüşe göre sette herhangi bir kısıtlama yok $X \times Y$haritalanmaktadır. Öyleyse bir örnek olarak, seti düşünün$X = \{1,2\}$ ve $Y=\{3,4\}$ topolojilerle $\mathcal{T}_X = \{\phi,\{1\}, \{1,2\}\}$ ve $\mathcal{T}_Y = \{\phi, \{3\}, \{3,4\}\}$.

Düşünmek $\{2\} \times \{4\} = \{(2,4)\}$. Haritalama$\pi_1(2,4)=2$ ve $\pi_2(2,4)=4$. Öncelikle, bu eşleştirmeler kümeler vermez, daha çok$X$ veya $Y$. Set olmaları gerekmez mi? Sadece setlerden beri$\{2\}$ veya $\{4\}$ açık olabilir ama gibi bir unsur olamaz $2$ ve $4$.

Dahası, $\{2\}$ ve $\{4\}$kendi topolojilerinde açık değildir. Yani ön görüntüleri sadece boş küme olur ve boş küme bir alt temel olamaz, yani bu teoremi yanlış uyguluyorum. Nerede yanlış yaptığımı bilmek isterim? Haritalamayı tanımladığında$\pi_1:X \times Y \rightarrow X$ seti mi demek istiyor $X \times Y$ veya herhangi bir alt kümesi $X \times Y$?

Ayrıca, lütfen bu teoremin ürettiği alt tabanın temel olmadığı bir örnek verebilir misiniz? Örneğin sonlu kümeler için olup olmadığı takdir edilmektedir.

Answer 1

Önce gönderinizin (benim Munkres sürümümde bu doğru) bir yazım hatası içerdiğini unutmayın. $\mathcal{S}$ alt temeli $X \times Y$ ve değil $X$.

Senin durumunda: $$\{\pi_1^{-1}(U): U \in \tau_X\}= \{\pi_1^{-1}(\emptyset),\pi_1^{-1}(\{1\}), \pi_1^{-1}(\{1,2\})\}= \{\emptyset, \{1\}\times Y, X \times Y\}$$ benzer şekilde

$$\{\pi_2^{-1}(U): U \in \tau_X\}= \{\pi_2^{-1}(\emptyset),\pi_2^{-1}(\{1\}), \pi_2^{-1}(\{1,2\})\}= \{\emptyset, X\times \{3\}, X \times Y\}$$

Böylece, $$\mathcal{S}= \{\emptyset, X \times Y, \{1\}\times Y, X\times \{3\}\}$$ $$=\{\emptyset, \{(1,3),(1,4),(2,3),(2,4)\}, \{(1,3),(1,4)\}, \{(1,3),(2,3)\}\}$$ alt temeli $X \times Y$.

Bu bir temel değildir, çünkü bir temel içermelidir $\{(1,3)\}= \{1\}\times \{3\}$.