Munkres van Kampen teoremi
Yanıtlar
Bu bana doğru görünüyor. Son adımda bunu kullanıyorsun$i_1(N) \subset M$Bu problemdeki en önemli bilgi parçası budur. Fikir, daha az kesin olarak, kullanmaktır$$ \pi_1(V, x_0) \cong \pi_1(U \cap V, x_0)/N \xrightarrow{i_1} \pi_1(U, x_0)/M = H $$ ikinci haritanın indüklendiği yer $i_1 : \pi_1(U \cap V, x_0) \to \pi_1(U, x_0)$ ve var çünkü $i_1(N) \subset M$.
Bu doğru çözüm ama bunu biraz farklı düşünmeyi sevdiğimi belirteceğim. Van Kapen'in teoremi tanımlar$\pi_1(X, x_0)$ birleştirilmiş ücretsiz ürün ile $G_1 *_H G_2$ nerede $G_1 = \pi_1(U, x_0)$ ve $G_2 = \pi_1(V, x_0)$ ve $H = \pi_1(U \cap V, x_0)$ (bu, gruplar kategorisine yazdığınız diyagramın tam olarak eş sınırıdır).
Şimdi varsayalım $H \to G_2$ kapsayıcıdır ve "açık" olmalıdır $G_1 *_H G_2 = G_1 / \left< \ker{(H \to G_2)} \right> $ nerede $\left< \ker{(H \to G_2)}\right>$ normal alt grubudur $G_1$ içindeki görüntü tarafından oluşturuldu $G_1$ çekirdeğinin $H \to G_1$. Bu neden? Peki eğer her şey içindeyse$G_2$ görüntüsünde $H \to G_2$ daha sonra "birleştirilebilir" $G_1$ ve daha da fazla birleşme her şeyi öldürür $G_1$ bir şeyden geliyor $H$ altında sıfıra eşleme $H \to G_2$. Kategori teorisine aşina iseniz, bunu ne zaman gösterebilmelisiniz.$H \to G_2$ o zaman kuşatıcı $H \to G_1 \to G_1 *_H G_2$ yapar $G_1 *_H G_2$ kokerneli $H \to G_1$ tam olarak ne istiyorsan onu vermek.