Noether Teoreminin Uygulanması

Question

Peskin & Schroeder'in Kuantum Alan Teorisine Giriş'te (Sayfa no. 18, Öğrenci Ekonomisi Baskısı) verilen Noether teoreminin uygulama örneklerinden birini anlamaya çalışıyorum . Metnin ilgili kısmı aşağıda verilmiştir.

Buradaki türetmeyi ve ilgili tartışmayı doğru bir şekilde anlarsam, Lagrangian yoğunluğunun$\mathcal{L}$ Euler-Lagrange denklemini karşılar: $$\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi} = \partial_{\mu}\left[\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_{\mu}\phi)}\right].$$

Karışıklığım: Nasıl olduğunu anlamıyorum$\mathcal{L} = \frac{1}{2} (\partial_{\mu} \phi)^2$Euler-Lagrange denklemini karşılar. Çünkü sol tarafta,$\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi} = 0$ve sağ tarafta, $\partial_{\mu}\left[\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_{\mu}\phi)}\right] = \partial_{\mu} \partial^{\mu} \phi.$ Eğer verilirse $\mathcal{L}$Euler-Lagrange denklemini karşılamıyorsa, Peskin & Schroeder'in formülasyonu bu duruma nasıl uygulanabilir? Burada neyi özlüyorum?

Answer 1

Euler-Lagrange denkleminizi doğru yazdınız. Yani basitleştirdiğinizde, hareket denklemini elde edersiniz (tıpkı sorunuzda belirttiğiniz gibi):$$\partial_\mu\partial^\mu\phi=\partial^2\phi=0.$$ Bununla ilgili tuhaf bir şey olmadığına dikkat edin çünkü Lagrangian'ı potansiyel enerji terimi ile de kullandıysanız, yani $$\mathcal{L}=\frac{1}{2}(\partial_\mu\phi)^2-\frac{1}{2}m^2\phi^2,$$ elde edeceğiniz hareket denklemi $$(\partial_\mu\partial^\mu+m^2)\phi=0.$$Burada yaptığımız tek şey fişe takmak $m=0$, ilk denklemi geri verir.

Doğru anladıysam, Euler-Lagrange denkleminin "tatmin" olmasıyla ilgili bir problem yaşıyorsunuz demektir. İfadenizi düzelterek bunu açıklığa kavuşturmak isterim: "Lagrangian" demek yanlıştır.$\mathcal{L}$Euler-Lagrangian denklemini karşılar; "Alan" dır$\phi$ bu Euler-Lagrange denklemini karşılar.

Euler-Lagrange denklemi $$\partial_\mu\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\right)-\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi}=0,$$Bu, kullandığınız Lagrangian'a bağlı olarak size LHS'de farklı ifadeler verir (yukarıda iki örnek gördük). Euler-Lagrange denklemini (veya hareket denklemini) elde etmek için LHS'deki ifadeyi sıfıra eşitler ve$\phi$.

Umarım bu konuyu açıklığa kavuşturmuştur.

Answer 2

Euler-Lagrange denklemi otomatik olarak karşılanmaz: $\mathcal{L}$. Öteki yol bu. Verilen$\mathcal{L}$, alan tarafından sağlanan klasik hareket denklemini bulabilirsiniz $\phi$. Bu size Newton mekaniğindeki kuvvet için bir formül vermek gibidir. Bilsen bile$F$, hala Newton'un ikinci yasasını bilmeniz gerekir $F=ma$hareketi bulmak için. Burada da: verilen$\mathcal{L}$, hareketi bulmak için hala "yasaya" (EL denklemi) ihtiyacınız var.

Answer 3

Değeri ne olursa olsun, Noether'in (ilk) teoreminin bir uygulamasında hangi aşamada Euler-Lagrange (EL) denklemlerinin kullanıldığı çok önemlidir . Noether'in ilk teoreminin 2 tarafı vardır:

• Girdi: Küresel bir kabuk dışı$^1$ (yarı) simetri . İşte bir gerekir değil EOM kullanın. ( Kabuk üstü simetri anlamsız bir kavramdır çünkü eylemi ne zaman değiştirsek$\delta S$ sonsuza kadar ve EOM uygulayın, sonra tanım gereği $\delta S\approx 0$ modulo sınır terimlerini ortadan kaldırır.)

• Çıktı: Kabuk üstü süreklilik denklemi. Burada EOM kullanılmalıdır. (Eğer kabuğun dışına çıkarsa, bunun nedeni küresel simetrinin daha büyük bir yerel / ayar simetrisinin parçası olmasıdır. Bkz. Noether'in ikinci teoremi ve örneğin bu Phys.SE gönderisi.)

-

$^1$Kabuk üstü ve kabuk dışı sözcükleri , Euler-Lagrange (EL) denklemlerinin (= EOM) karşılanıp karşılanmadığını ifade eder.