Olasılık hesaplamasında şüphe.

Question

X ve Y iki satranç oyuncusu:

• X'in Y'ye karşı belirli bir oyunu kazanma olasılığı: $1/3$ ve Y'nin oyunu kazanma olasılığı $2/3$.
• Kuralların, X'in arka arkaya iki oyun kazanması, ardından X'in seriyi kazanması ve Y'nin seriyi kazandığı zaman kazanması şeklinde olduğu bir dizi oyun oynarlar. $4$ ardışık oyunlar.
• Oyuna başlarlar ve biri seriyi kazanana kadar oynarlar.

Bu kurallara uyarak, Y'nin seriyi kazanma olasılığı nedir?

Olasılığı dikkate alarak hesapladım $4/5/6$ oyunları ayrı ayrı toplayın, ancak herhangi bir kalıp bulamadım, böylece özetleyebilirim $n$ oyun sayısı ve eğilim $n$ sonsuzluğa$\ldots$ bu tür problemlerde benim temel yaklaşımım bu ama burada yapamadım$\ldots$

Answer 1

Terminal olmayan durumlar $w\in\{\emptyset, X, Y, YY, YYY\}$adı nerede $w$ilgili son kazançları ifade eder. Bu eyaletlerin her biri için$w$ bir olasılığımız var $p_w$ o $Y$seriyi kazanır . Bu olasılıklar için aşağıdaki denklemlere sahibiz:$$\eqalign{p_{\emptyset}&={2\over3}p_{Y}+{1\over3}p_{X}\cr p_{Y}&={2\over3}p_{YY}+{1\over3}p_{X}\cr p_{YY}&={2\over3}p_{YYY}+{1\over3}p_{X}\cr p_{YYY}&={2\over3}+{1\over3}p_{X}\cr p_{X}&={2\over3}p_{Y}\cr}$$ Örneğin, eyalette olduğumuzda $YY$, oyuncu $Y$seriyi olasılıkla kazanır$p_{YY}$. Sonraki oyunda$Y$ olasılıkla kazanır ${2\over3}$ ve o zaman durumdayız $YYY$, ve $Y$ olasılıkla kaybeder ${1\over3}$ve biz o zaman durumdayız $X$. Bu şekilde denklemi elde ederiz$p_{YY}={2\over3}p_{YYY}+{1\over3}p_{X}$.

Bu sistemi çözmek ilk olasılığı verir $$p_{\emptyset}={64\over129}\ .$$