Örnek olay incelemesi: Quillen'in ZFC'deki küçük nesne argümanını formüle etmek ve kanıtlamak için ne gerekiyor?
Peter Scholze'nin kategori teorisindeki teoremlerden evrenlere olan bağımlılığı ortadan kaldırmayla ilgili ilginç sorusunda biraz kayboluyorum . Özellikle, değiştirmenin ne zaman başlatıldığını gerçekten bilmediğimi, "temel bir şekilde" ne zaman çağrıldığını umursamadığımı itiraf etmek zorunda kalıyorum. Bu nedenle, olgunun makul ölçüde somut bir örneği üzerinde çalışmak istiyorum. Değiştirmenin "gerçekten", sonsuz özyinelemeye izin veren aksiyom olarak düşünülmesi gerektiğini anlıyorum. Benim düşünceme göre, kategori teorisi özyinelemeyi ağır bir şekilde kullanmama eğilimindedir (matematiğin diğer dallarından daha fazla olsa da, en azından ilk bakışta önemsiz bir Levy karmaşıklığına sahip olan birçok tanımı vardır . formül$\phi(x,y,z,p,q)$ set olduğunu söyleyerek $z$ ve fonksiyonlar $p: z \to x$ ve $q: z \to y$ setlerin kategorik bir ürünüdür $x,y$ sözdizimsel olarak $\Pi_1$ve ikili çarpımların kümeler kategorisinde var olduğu ifadesi sözdizimsel olarak $\Pi_3$ (tabii ki sınırlı niceleyicileri göz ardı ederek)).
Aşağıdaki teorem, kategori-teorik-özyineleme-kullanmama-sınıfının dikkate değer istisnalarından biri olduğunu düşünüyorum:
Teorem [Quillen] "Küçük nesne argümanı": Let$\mathcal C$ yerel olarak gösterilebilir bir kategori olun ve $I \subseteq Mor \mathcal C$küçük bir morfizm kümesi olabilir. İzin Vermek$\mathcal L \subseteq Mor \mathcal C$ morfizmlerin ortak ürünlerinin ko-baz değişimlerinin transfinite kompozitlerinin geri çekilme sınıfı olmak $I$ve izin ver $\mathcal R \subseteq Mor \mathcal C$ morfizimlerine zayıf bir şekilde dik olan morfizmaları içerir. $I$. Sonra$(\mathcal L, \mathcal R)$Bir olan zayıf çarpanlara sistemi üzerinde$\mathcal C$.
Kanıt için nlab'a bakın . Temel olarak çarpanlara ayırmalar, sonlu özyineleme ile oluşturulur. Özyineleme benim için "gerekli" görünüyor çünkü yapının her aşamasında yeni veriler sunulur.
Resmileştirme:
Bence bu teorem ve kanıtı, kategori-teorik "küçük / büyük" ayrımının MK'nin "küme / sınıf" ayrımı olarak yorumlandığı MK'de açıkça resmileştirilebilir. Kanıtın NBG'de işe yarayıp yaramadığı konusunda yorum yapmak için nitelikli olduğumu düşünmüyorum, ancak ifade en azından açık bir şekilde mantıklı.
ZFC'de resmileştirme söz konusu olduğunda, küçük / büyük ayrımı ile ilgili yapmamız gereken seçimlerimiz var:
Bir seçenek, bir "evren" tanıtmaktır. $V_\kappa$(ki eğer gerçekten ZFC'de çalışmaya çalışıyorsak, her zamankinden daha zayıf bir evren olacak). "Küçük" kelimesini "küçük" olarak yorumlayacağız$V_\kappa$"." Gerçekten büyük nesneleri "dikkate almayacağız - hakkında konuştuğumuz her şey bir set olacak - özellikle, bahsettiğimiz her kategori, kendi başına" küçük "olmasa bile, belirli bir boyutta olacak. "yerel olarak sunulabilir kategori" yi "anlamına gelecek şekilde yorumlamak"$\kappa$-cocomplete, yerel olarak $\kappa$güçlü olan küçük kategori $\kappa$-küçük, $\lambda$-bazı düzenli $\lambda < \kappa$"(Bunu söylemenin bir fark yaratır mı bilmiyorum $V_\kappa$ düşünüyor $\lambda$ normal bir kardinaldir).
Başka bir seçenek de, herhangi bir evreni tanıtmamak ve sadece "küçük" ü "set-boyutlu" anlamına gelecek şekilde yorumlamaktır. Bu durumda, bahsettiğimiz herhangi bir "büyük" nesne küçük parametrelerden tanımlanabilir olmalıdır. Bu nedenle, parametre tanımlı nesneler sınıfını, parametre tanımlı bir morfizm sınıfını vb. İçeren bir kategori tanımlarız. Bu kısıtlayıcı görünebilir, ancak yerel olarak gösterilebilir durumda iyi çalışacaktır, çünkü yerel olarak gösterilebilir bir kategori tanımlayabiliriz.$\mathcal C$ parametrelere göre tanımlanacak $(\lambda, \mathcal C_\lambda)$ (nerede $\lambda$ düzenli bir kardinaldir ve $\mathcal C_\lambda$ Küçük $\lambda$-cocomplete kategorisi), kategorisi olarak $\lambda$-Ind nesneleri $\mathcal C_\lambda$.
Şimdi, eldeki teorem için, yaklaşım (2) daha temiz görünüyor çünkü gerekli "çevirme" basittir ve bir kez yapıldığında, orijinal ispat, değişiklik yapılmadan çalışmalıdır. Bence (2) 'nin temel dezavantajları başka yerde geliyor. Örneğin, yerel olarak sunulabilir kategoriler kategorisi hakkında teoremleri formüle etmek muhtemelen hassas bir konu olacaktır. Genel olarak, kategoriler küçük olduğunda temiz, kavramsal formülasyonlara ve kanıtlara sahip, ancak ilgili kategoriler büyük olduğunda sinir bozucu teknik değişiklikler gerektiren kategoriler hakkında çeşitli teoremler olacaktır. Bu tür nedenlerden dolayı, daha çok (1) gibi yaklaşımlar, büyük ölçekli kategori-teorik projeler için tercih edilme eğilimindedir.
Öyleyse, yaklaşımı (1) takip ettiğimizi varsayalım. Soru daha sonra şu hale gelir:
Soru 1: Yaklaşım (1) 'den sonra yukarıdaki teoremi formüle etmek ve kanıtlamak için tam olarak ne tür bir evrene ihtiyacımız var?
Soru 2: ZFC tarafından bu tür kaç evrenin varlığı garanti edilmektedir?
Muhtemelen, Soru 2'nin cevabı, bu tür birçok evren olduğu olacaktır - bir kategori verildiğinde, bu kategoriyi küçültecek kadar büyük bir evrene geçmek ve o evrenin teoremini çağırmak gibi şeyler yapabilmemiz için yeterlidir. .
Soru 3: 1. ve 2. soruları cevaplamak için yabani otlarda ne kadar ileri gitmeliyiz?
Teoremin ispatını derinlemesine incelememiz gerekiyor mu? Kanıta bakmamızı sağlayan ve bunun gibi teoremlerin% 99'u için çok fazla araştırmadan kolayca "geçtiğini" söyleyen kolay bir kriter değerlendirme listesi var mı? Ya da bir bilgisayarın bile işlerin iyi olup olmadığını kontrol edebilmesi için başvurabileceğimiz resmi bir metateorem var mı?
Yanıtlar
Jacob Lurie comment pes ettim tahminler varsayarak Yani Soru 1. cevap verir benim yorumum doğru olduğundan teoremi formüle ve kanıtlamak için o varsaymak yeterli olacaktır
- $\kappa$ düzenli
ve şu
- her biri için $\mu < \kappa$var $\rho < \kappa$ öyle ki $\mu \ll \rho$ (anlamında $\mu' < \mu, \rho' < \rho \Rightarrow (\rho')^{\mu'} < \rho$).
Belki de bu özelliği $\kappa$bir değiştirme "formu" olarak görülebilir. Ama gerçekten, sahip olduğumuz iki koşul$\kappa$ Metamatematikten ziyade tamamen set-teoriktir, böylece Soru 1'in cevabı sandığımdan çok daha temiz bir şeydir.
Bu, Soru 2'yi ele almamızı sağlar. Muhtemelen, sonuç, ZFC'nin çok sayıda sorunun olduğunu kanıtlamasıdır. $\kappa$ yukarıdaki iki koşulu karşılamaktadır.
Soru 3'e gelince, öyle görünüyor ki, bu yaklaşımda aslında kanıtı oldukça derinlemesine incelememiz gerekiyor. Aslında, öyle görünüyor ki, bu yaklaşımı uygulamak için, kanıta bazı gerçek matematiksel içerikler eklememiz ve aslında daha güçlü bir ifade kanıtlamamız gerekiyor. Diğer sorular daha sonra
Genel olarak, "çoğu" kategori teoremlerini "yapılandırmak" "" bu şekilde mümkün olacak mı, yoksa "ZFC-ify kategori teorisi" projesi sırasında başka sorunlar ortaya çıkacak mı?
Eğer (1) 'in cevabı "evet" ise (veya genel olarak "hayır" ise ve "evet" olduğu durumlarla ilgimizi kısıtlıyorsak), o zaman böyle bir proje gerçekten "ne kadar fazla iş" olur?
Benim tahminime göre (1) 'in cevabı, kategori teorisinde transfinite özyinelemenin kullanımına gelince, gerçekten de tipik olarak ikame kullanımının buna benzer bir şekilde ortadan kaldırılabileceği, ama bu daha fazlasıdır. Daha da önemlisi, noktayı kaçırdım: Jacob Lurie'nin Peter Scholze'nin sorusuna yanıt olarak ileri sürdüğü gibi, ZFC-bozucu kategori kuramındaki daha çetrefilli sorunlar, sonsuz özyineleme ile değil, daha çok "büyük kategoriler arasında özgürce gidip gelebilmeyle ilgilidir "ve" küçük kategoriler "çeşitli şekillerde.
Tahminimce (2) 'nin cevabı, transfinite özyinelemenin "çoğu" kategori-teorik kullanımları için, onları yukarıdaki özelliklere sahip bir "bebek evrenine" uyacak şekilde "yapılandırmanın" oldukça basit olması gerektiğidir. benzer bir şey ve sadece biraz pratikle, neredeyse bir bakışta mümkün olduğunu doğrulama yeteneği geliştirilebilir, yine de teorem bazında. Ancak yanlış olduğunun kanıtlanmasını ve bu tür bir yaklaşımın başarısız olduğu kategori teorisinde bir teorem göstermeyi çok isterim!
Son olarak, tüm bunları yapmanın "daha otomatik" bir yolu olup olmadığı açık bir soru olarak bırakılır - belki de "evrenimizin herhangi bir ikame şeklini tatmin etmemesine" göre daha zayıf bir sonuçla.