Ortalamaların çarpımı

Question

İzin Vermek $(x_1,...,x_n)$ ve $(y_1,...,y_n)$ iki farklı pozitif gerçekler dizisi olacak ki $x_1\times\dots\times x_n=y_1\times\dots\times y_n = c$. Bu doğru mu$$\left(\frac{x_1+y_1}{2}\right)\times\cdots\times \left(\frac{x_n+y_n}{2}\right) > c?$$

Bunun bir içbükeylik argümanından, belki de işlevden kaynaklanması gerektiğini düşünüyorum. $f(x_1,...,x_n) = x_1\times\cdots\times x_n$ama tam olarak nasıl olduğundan emin değilim.

Answer 1

Aritmetik ve geometrik ortalama arasındaki eşitsizlik devletler bu$\frac{x+y}{2} \ge \sqrt{x y}$ için $x, y \ge 0$eşitlikle, ancak ve ancak $x=y$.

Bunu takip eder $$ \prod_{k=1}^n \frac{x_k+y_k}{2} \ge \prod_{k=1}^n \sqrt{x_k y_k} = \sqrt{\prod_{k=1}^n x_k \cdot \prod_{k=1}^n y_k} = c $$ eşitlikle ancak ve ancak $(x_1, \ldots, x_n) = (y_1, \ldots, y_n)$.

Bir içbükeylik argümanı kullanmak istiyorsanız, $$ g(x_1, \ldots, x_n) = \log x_1 + \ldots + \log x_n \, . $$ $g$ içbükey fonksiyonların toplamı olarak içbükeydir.

Answer 2

Tutucu tarafından $$\prod_{k=1}^n\frac{x_k+y_k}{2}\geq\frac{\left(\sqrt[n]{\prod\limits_{k=1}^nx_k}+\sqrt[n]{\prod\limits_{k=1}^ny_k}\right)^n}{2^n}=c$$