Parçalanmadan koşullanmaya
JT Chang ve D. Pollard tarafından yazılan ve dağılmanın düzenli koşullu olasılığını inşa eden bir "Parçalanma olarak koşullandırma" yazısı var . Özellikle, bu yazıda Tanım 1, Teorem 1 ve Teorem 2 (iii) 'den bir teoremi şu şekilde özetleyebiliriz:
Teorem. İzin Vermek$\Omega$ Polonyalı bir alan ol, $\mathcal F = \mathcal B(\Omega)$ Borel ol $\sigma$-field için $\Omega$, ve $\mathbf P$ olasılık ölçüsü olmak $(\Omega,\mathcal F)$. İzin Vermek$(E,\mathcal E)$ ölçülebilir bir alan olmak $\mathcal E$sayılabilir şekilde üretilir ve tüm tekil setleri içerir. İzin Vermek$X:(\Omega,\mathcal F) \to (E,\mathcal E)$rastgele bir unsur olabilir. Gösteren$P_X := X_*\mathbf P = \mathbf P\circ X^{-1}$ ileri doğru ölçüsü $X$ açık $(E,\mathcal E)$. Sonra bir aile var$\{\mathbf P^x\}_{x\in E}$ olasılık ölçülerinin $(\Omega,\mathcal F)$, öyle ki:
- Her biri için $x\in E$olasılık ölçüsü $\mathbf P^x$ olaya odaklanır $\{X = x\}$.
- Hepsi için $A\in\mathcal F$, eşleme $\mathbf P^\cdot(A): (E,\mathcal E)\to [0,1]$ ölçülebilir.
- Hepsi için $A\in\mathcal F$ ve $B\in\mathcal E$, \ begin {denklem} \ mathbf P \ left (A \ cap X ^ {- 1} (B) \ right) = \ int_B \ mathbf P ^ x (A) P_X (dx). \ end {equation} Dahası, aile$\{\mathbf P^x\}_{x\in E}$ neredeyse kesin bir denkliğe kadar benzersiz bir şekilde belirlenir: $\{\mathbf Q^x\}_{x\in E}$ başka bir olasılık ölçüm ailesidir $(\Omega,\mathcal F)$yukarıdaki koşulları sağlayan, sonra \ begin {equation *} P_X \ {x \ in E: \ mathbf P ^ x \ ne \ mathbf Q ^ x \} = 0. \ end {equation *}
İşte sorun .
Özel durumu düşünün $E=\Omega$ ve $\mathcal E$ bir alt$\sigma$-alanı $\mathcal F$tüm singletonları içeren. Dan beri$\Omega$ ikinci sayılabilir, Borel $\sigma$-alan $\mathcal F$sayılabilir şekilde oluşturulmalı ve tüm tekilleri içermelidir . Alt-$\sigma$-alanı $\mathcal F$, $\mathcal E$ayrıca sayılabilir şekilde üretilir. İzin Vermek$X = \mathrm{Id}$. Sonra$P_\mathrm{Id} = \mathbf P$ ve $\sigma(\mathrm{Id}) = \mathcal E$. Şimdi teoremdeki tüm varsayımlar yerine getirildi. Bu nedenle, bir$\mathbf P$- benzersiz olasılık ölçüleri ailesi olarak $\{\mathbf P^\omega\}_{\omega\in\Omega}$ açık $(\Omega,\mathcal F)$ doyurucu:
- Her biri için $\omega\in\Omega$olasılık ölçüsü $\mathbf P^\omega$ tekil üzerinde yoğunlaşır $\{\omega\}$.
- Hepsi için $A\in\mathcal F$, eşleme $\mathbf P^\cdot(A): (\Omega,\mathcal E)\to [0,1]$ ölçülebilir.
- Hepsi için $A\in\mathcal F$ ve $B\in\mathcal E$, \ begin {denklem} \ mathbf P \ left (A \ cap B \ right) = \ int_B \ mathbf P ^ \ omega (A) \ mathbf P (dx). \ end {equation}
2 ve 3 numaralı ifadeler koşullu olasılığın formülasyonuyla tamamen aynıdır , yani,$\mathbf P^\omega(A) = \mathbf P(A\mid \mathcal E)(\omega)$. Bununla birlikte, bunları 1 ifadesi ile birleştirirsek, o zaman oldukça garip bir şey var. Nitekim, o zamandan beri$\mathbf P^\omega$ konsantre $\{\omega\}$, sahibiz $\mathbf P^\omega(A) = \mathrm{1}_A(\omega)$ hepsi için $A\in\mathcal F$, bu sadece $A\in\mathcal E$ dan beri $\mathbf P^\omega$ 3. ifadeye göre koşullu olasılıktır. Ayrıca, eşleme $\mathbf P^\cdot(A) = \mathrm{1}_A: (\Omega,\mathcal E)\to [0,1]$ sadece ölçülebilir $A\in\mathcal E$ama hepsi için değil $A\in\mathcal F$ ifadesinde iddia edildi 2.
Peki nerede ters gidiyor? Herhangi bir yorum veya ipucu takdir edilecektir. TIA ...
DÜZENLEME: İşte bazı başka açıklamalar:
- Ben sadece "alt olarak-$\sigma$-alanı $\mathcal F$, $\mathcal E$ayrıca sayılabilir şekilde üretilir ". Bu yanlış. Örneğin bir karşı örnek için buraya bakın .
- @Aduh'un yorumu sayesinde sorun, olması gerekip gerekmediğine indirgeniyor $\mathcal E = \mathcal F$? veya uygun bir alt$\sigma$-alanı $\mathcal F$bu sayılabilir şekilde üretilir ve tüm singletonları içerir? Bunu Math.SE'de başka bir soru olarak gönderiyorum .
Sonuç: Varsayımıma göre,$\mathcal E$ denk olmalı $\mathcal F$. Yani sorun önemsiz. Ayrıntılar için bahsettiğim "başka bir soru" da @GEdgar tarafından verilen kabul edilmiş cevaba bakın.
Yanıtlar
Burada bütünlük için bir cevap gönderiyorum.
Sorunun sonundaki Sonuç bölümünde belirtildiği gibi,$\mathcal E = \mathcal F$@GEdgar satırlarını takip ederek . Daha doğrusu, aşağıdaki teoremi ispatlayabiliriz:
Teorem. İzin Vermek$\Omega$ Polonyalı bir alan ol, $\mathcal F=\mathcal B(\Omega)$ Borel ol $\sigma$-field için $\Omega$. Eğer$\mathcal E\subset \mathcal F$ sayılabilir şekilde oluşturulmuş bir alt$\sigma$-tüm tekil setleri içeren alan, sonra $\mathcal E = \mathcal F$.
Teorem , D. Blackwell'in "Olasılık Uzayları Üzerine Bir Sınıf Üzerine" makalesinde Teorem 3 ve Teorem 1'den uyarlanan aşağıdaki lemmayı ve bir Polonya uzayının analitik olduğuna dair iki gerçeği bildiğimiz sürece önemsizdir. kendisi ve bir Polonya uzayındaki atomların tek tonlardan başka bir şey olmadığını.
Lemma. İzin Vermek$\Omega$ Polonyalı bir alan ol, $\mathcal F=\mathcal B(\Omega)$ Borel ol $\sigma$-field için $\Omega$. Eğer$\mathcal E\subset \mathcal F$ sayılabilir şekilde oluşturulmuş bir alt$\sigma$-field, sonra bir set $A\in\mathcal F$ ait olmak $\mathcal E$ ancak ve ancak $A$ tekillerin birliğidir.