Poisson Sürecini anlamaya yardımcı olun

Question

sadece hızlı (muhtemelen) bir tane. Sadece birkaç şeye kafa yormaya çalışıyorum:

İzin Vermek $N_{t},t\geq 0$bir sayma süreci olabilir. sonra sayma sürecinin poisson bir yoğunluk süreci olduğunu söyleriz$\lambda$ Eğer

• rastgele değişkenler $N_{t+s} - N_{t}$ bağımsızdır $\{N_u, 0 \leq u \leq t\}$ hepsi için $s,t \geq 0$
• Rastgele değişken $(N_{t+s} - N_{t}) \sim Pois(\lambda s)$

Bu tanım şuna eşdeğerdir: $\forall t \geq 0:$

• $P(N_{t+h} - N_{t} = 1) = \lambda h + o(h)$
• $P(N_{t+h} - N_{t} = 0) = 1 - \lambda h + o(h)$
• $P(N_{t+h} - N_{t} = 2) = o(h)$

benim anlayışıma göre sürecin her adımda yalnızca bir artabileceğini söylüyor. (üçüncü madde işareti). Bir artma olasılığının, yoğunluğumuzun bu zaman aralığında ne kadar süreyle olduğumuzla çarpılmasıyla verildiği. ve ikinci madde işareti açıkça bizim iltifatımız.

Ardından, artış sürelerinden bahsediyoruz (bekletme süreleriyle aynı olduğuna inanıyorum) $T_{1},T_{2},\cdots$ sonra şunu söyleriz $T_n = \inf\{t\geq 0: N_{t} \geq n \}$ Yani, ilk kez belirli bir değerin (n) üzerine çıktığımızda

sonra varışlar arası zamanlar $(T_{n+1}-T_{n}) \sim \exp(\lambda)$

Yani ... benim anlayışıma göre o zaman; $T_{n}$ n'den büyük bir sayıyı saydığımız zamandır. ve $T_{n+1}-T_{n}$ önceki durumdan oraya ulaşmak ne kadar sürdü?

Öyleyse, bir süreç belirlediğimizi söyleyelim. poisson sürecimizden bir miktar değer alır mıydık, sonra üstel bir süreç tarafından belirlenen bir süre bekler miydik, sonra poisson sürecimizden bir miktar değer alır mıydık?

yani olacak. Üstel zaman değeri 1: - sayma 1 - üstel zaman değeri 2 - sayma 2 ... vb.

Answer 1

"Süreç her adımda yalnızca bir artabilir" demek en iyi ihtimalle kesin değildir, çünkü

• bu sürekli bir süreçtir, bu nedenle "zaman adımları" yoktur ve
• Süreçlerin bu zaman aralığında birden fazla artamayacağı kadar kısa bir zaman aralığı yoktur; daha ziyade, birden fazla artış, çok küçük bir zaman aralığı sırasında bir artımın çok olasılık dışı olayı ile karşılaştırıldığında bile, son derece olası değildir.

Ancak, süreç arttığında her seferinde yalnızca bir artırılabilir.

İki farklı kelime arasındaki farkı bilmek gerekir: "iltifat" ("i" ile) ve "tamamlayıcı" ("e" ile). Gönderinizin harika olduğunu söylersem, bu bir iltifattır ("i" ile). Tamamlayıcı XYZ (bir "e" ile) bunu yapmak için XYZ eklenecek ihtiyacı varsa olduğunu tamamlamak . Hem "tamamlayıcı" hem de "tam" kelimesinde aynı konumda "e" nin kullanılması, sadece bir tesadüf değildir.