Poker Sayma Problemi

Question

Poker'de alırım $2$ kartlar ve bunlar bir çift $8$s. Diğer üç kart yerleştirilirken sadece bir çift, 2 çift ve üç tane (ama daha yüksek bir şey değil) elde etme şansım nedir?

Bu sorunu sadece çift için düşündüm: $\binom{12}{3}\binom{4}{1}\binom{4}{1}\binom{4}{1}$sadece üç kart seçmemiz ve onlar için rastgele renk seçmemiz gerektiğini. Bizim için bir takım elbise seçmemize gerek yok.$8$s çünkü zaten onlara sahibiz?

İkinci kısım, zaten bir çiftimiz olduğundan, iki çift elde etmek için: $\binom{4}{2}\binom{12}{1}\binom{11}{1}\binom{4}{1}$ aynı sıradaki iki kart için iki takım seçeriz ve ardından birinci veya ikinci çift ile aynı sıraya sahip olmayan rastgele bir kart seçeriz.

Son kısımda, zaten bir çiftimiz olduğundan: $\binom{13}{1}\binom{4}{1}\binom{12}{2}\binom{4}{1}\binom{4}{1}$ Çiftimizle aynı sıraya sahip bir kart seçeriz, onun rengini seçeriz ve sonra rastgele iki kart seçer ve onların renklerini seçeriz.

Bu nedenle, yolların sayısı: $\binom{12}{3}\binom{4}{1}\binom{4}{1}\binom{4}{1} + \binom{4}{2}\binom{12}{1}\binom{11}{1}\binom{4}{1} + \binom{13}{1}\binom{4}{1}\binom{12}{2}\binom{4}{1}\binom{4}{1}$.

Sayma ve pratik yapmaya devam etme konusunda pek iyi değilim, bu yüzden soruyorum mantığım bunun için doğru mu? Zaten bir çifte sahip olmak düzgün ve bana sayma problemlerinin nasıl çalıştığına dair yeni bir bakış açısı veriyor.

Answer 1

Yaptığınız şey, her sonuç için olasılıkları sayma girişimiydi.

Birincisi doğru: olmayan üç farklı rütbe seçin $8$ve her biri için takım elbise seçin.

İkincisi de doğrudur: olmayan bir sıra seçin $8$ ikinci çift için, ikinci çiftteki her kart için renk seçin ve farklı dereceye sahip üçüncü bir kart ve onun rengi seçin.

Üçüncüsü için: Başka bir tane seçin $8$ (aralarından seçim yapabileceğiniz iki tane kaldı) ve ardından iki farklı rütbe, herhangi bir renk: $2 \times {12 \choose 2} \times 4 \times 4$.

Son olarak, her birinin olasılığını elde etmek için , kalan yollardan üçünü seçebileceğiniz toplam yol sayısına bölersiniz.$50$herhangi bir kısıtlama olmaksızın kartlar. Bu basitçe${50 \choose 3}$.

Neden böldüğünüzün daha basit bir örneği, altı kenarlı bir zar üzerinde çift bir sayının yuvarlanmasıdır. Arasında üç çift sayı vardır$1$ ve $6$ve toplam var $6$Olası sonuçlar. Yani olasılık$3/6 = 1/2$.