Proof Verification: Path Connected, Connected anlamına gelir

Question

İzin Vermek $(M,d)$yol bağlantılı bir metrik uzay olabilir. Düzelt $p \in M$. Şimdi,$\forall q \in M-\{p\}$, $\exists f_q:[a,b] \rightarrow M$ ile $f_q(a)=p$ ve $f_q(b)=q$, ve $f_q$süreklidir. Her birini ara$[a,b]$benzersiz olmayan bir etki alanı aralığı .

İzin Vermek $\{I_q| q \in M-\{p\}\}$bu tür etki alanı aralıklarının bir koleksiyonu olabilir (böyle bir koleksiyonun benzersiz olmadığını unutmayın). Şimdi, bunu kullanarak$I_q$ her biri için bağlı $q \in M-\{p\}$ve işlevlerin $f_q$ süreklidir, $f_q(I_q)$ayrıca bağlanmalıdır. Ayrıca, kesişim bölgesinin$f_q(I_q)$ bitmiş $q \in M-\{p\}$ boş değildir, çünkü $p$bu kavşağa ait olmalıdır. Dolayısıyla, onların birlik bağlanmalıdır. Şimdi,$\forall q \in M-\{p\}$, $f_q(I_q) \subset M$ tanımı gereği $f_q$. Ayrıca,$\forall q \in M-\{p\}$, $q \in f_q(I_q)$yine tanım gereği. Elbette,$p \in f_q(I_q )$ $\forall q \in M-\{p\}$yanı sıra. Böylece,$\bigcup\limits_{q \in M-\{p\}} f_q(I_q) = M$ ve $M$ bağlandı $\blacksquare$

Answer 1

$X$ her biri için bağlı $x,y \in X$ bağlı bir alt uzay var $C(x,y)\subseteq X$ öyle ki $x,y \in C(x,y)$.

Soldan sağa önemsiz, alabiliriz $C(x,y)=X$her zaman. Sağdan sola: varsayalım$X$ sağ taraf tutarken bağlı değil, yazın $X=A \cup B$ nerede $A,B$ayrık, boş değil ve her ikisi de açık. Toplamak$a \in A, b \in B$ ve için $C(a,b)$ var, unutmayın ki $C(a,b) = (A \cap C(a,b)) \cup (B \cap C(a,b))$, Böylece $C(a,b)$bağlantılı değildir, bu bir çelişkidir. Yani$X$ bağlandı.

(Önerdiğiniz kanıtta olduğu gibi bunu da gösterebilirdim (bazı düzeltmeler için $p \in X$), bu $$X= \bigcup\{ C(p,a): a \in X\}$$ Bu, tümünün kesiştiği bağlı alt uzayların birleşimidir. $p$ ve bu yüzden bağlantılıdır, ancak bu fazladan bir teoreme ihtiyaç duyarken, önceki sadece bağlantılılığın tanımına ihtiyaç duyar).

Şimdi, sağ tarafın yola bağlı bir alan için kolayca tatmin edilebileceğini unutmayın: $f:[a,b] \to X$ bir yol $x$ -e $y$, kullan $C(x,y)=f[[a,b]]$olarak bağlanan $f$ sürekli ve $[a,b]$ her zaman bağlantılıdır.

Answer 2

Doğru.

Bunu kanıtlamanın bir başka yolu da, yanlış sohbet sonuçlarını kanıtlamaktır. Yani değil ima bağlı değil yol bağlantılı. Eğer varsayarsan kolay$M$yol bağlı. Bunu gösteriyorsun$M$bağlı değil, sürekli yolla "ulaşılamayan" farklı bağlantılı bileşenlere ait noktalar var (görüntünün bağlanacağını söylediğiniz gibi) ve bu bir absürdum .

Answer 3

Farz et ki $M$edilir değil bağladı.

Sonra boş olmayan açık ayrık kümeler $A,B$ ile var olmak $A\cup B=M$.

Her sürekli $f:[a,b]\to M$ görüntü $f([a,b])$ bağlı olduğundan, bir alt kümesi olmalıdır $A$ veya bir alt kümesi $B$.

Öyleyse $p\in A$ ve $q\in B$ bağlantı yolu $p$ ve $q$ Yok.

Şu sonuca varıyoruz ki $M$olduğu değil yol bağlantılı.