QED için beta işlevi
Kuantum elektrodinamiğinin beta işlevi nedir?
Tek döngülü beta işlevinin verildiği , beta işlevleriyle ilgili Wikipedia makalesi dışında hiçbir yerde bulamıyorum :$$\beta(\alpha) = \frac{\alpha^2}{3\pi}$$ Bununla birlikte, beta işlevinin tanımını kullanarak $$\beta(\alpha) = \frac{d\alpha}{d\ln(\mu)}$$ biri alır: $$\frac{d\alpha}{d\ln(\mu)} = \frac{\alpha^2}{3\pi}$$
Yeniden düzenlemeden sonra $$3\pi\frac{d\alpha}{\alpha^2} = d\ln(\mu)$$ ve entegrasyon $$-\frac{3\pi}{\alpha} = \ln(\mu) + C = \ln(\mu) - \ln(\mu_0) = \ln(\mu/\mu_0),$$ nerede $C = -\ln(\mu_0)$ bir entegrasyon sabitidir, sonuç: $$\alpha(\mu) = -\frac{3\pi}{\ln(\mu/\mu_0)} = \frac{3\pi}{\ln(\mu_0/\mu)}$$ Bu, negatif olmayan monoton olarak artan değerler verir. $\alpha$ için $\mu < \mu_0$ tekillik ile $\mu_0$ (Sanırım bu Landau kutbu olurdu).
Bununla birlikte, sıfır olmayan herhangi bir sonlu değer için $\mu_0$, $\alpha(0)$ gibi görünüyor $$\alpha(0) = \lim_{\mu\to0^+}\frac{3\pi}{\ln(\mu_0/\mu)} = \lim_{\ln(\mu)\to-\infty}\frac{3\pi}{\ln(\mu_0)-\ln(\mu)} = 0,$$ Öte yandan $\alpha \approx 1/137$ sıfır yerine düşük enerjilerde görünmelidir.
Yakalama nerede?
Yukarıdaki beta işlevinde eksik bir terim var mı? Örneğin, değiştirme$\alpha^2$ ile $(\alpha - \alpha_0)^2$beklenen sonucu vermeli, ancak hiçbir yerde böyle yazılmıyor. Bu değiştirme yine de sessizce ima ediliyor mu?
Yanıtlar
İlk olarak, cebirde küçük bir düzeltme.
Seni buraya kadar takip ediyorum.
\ begin {denklem} 3 \ pi \ frac {{\ rm d} \ alpha} {\ alpha ^ 2} = d \ ln \ mu \ end {denklem}
O zaman dikkatlice ilerlememiz gerektiğini düşünüyorum. Benim gideceğim yol, bir referans ölçeğinden entegre etmek olurdu$\mu_0$ enerji ölçeğine göre $q$. Sonra \ begin {denklem} 3 \ pi \ int _ {\ mu_0} ^ q \ frac {{\ rm d} \ alpha} {\ alpha ^ 2} = \ ln \ frac {q} {\ mu_0} \ end {denklem } Bunun yeniden düzenlenmesi \ begin {equation} \ frac {1} {\ alpha (q)} - \ frac {1} {\ alpha (\ mu_0)} = - \ frac {1} {3 \ pi} \ ln \ verir frac {q} {\ mu_0} \ end {denklem}
İsterseniz, \ begin {equation} \ alpha (q) = \ frac {\ alpha (\ mu_0)} {1- \ frac {1} {3 \ pi} \ alpha (\ mu_0) elde etmek için bunu yeniden düzenleyebilirsiniz. \ ln \ frac {q} {\ mu_0}} \ end {denklem}
Bunu elde ederken, dolaylı olarak beta fonksiyonuna bir döngü yaklaşımı kullanabileceğimizi varsaydık. Bu, "büyük günlüklerin" görünmemesini gerektirir. Pratikte bu, bir referans ölçeği seçmek anlamına gelir$\mu_0$ ilgilendiğiniz süreçlerin enerji ölçeğinden çok da farklı değil, $q$.
Alarak $q \ll \mu_0$, bu varsayımı bozuyorsunuz ve beta işlevindeki büyük günlükleri sürdürmeniz gerekecek.
Veya bir referans ölçeği seçebilirsiniz $\mu_0$ Bu, ilgilendiğiniz deneylerin enerjilerindedir. Düşük enerjilerde, $\alpha(\mu_0)$ küçük ve bu yüzden $\alpha(q) \approx \alpha(\mu_0)$.
Bu tatmin edici görünmüyorsa (büyük enerjilerle neyi kastediyorum?), Şunu not edin: $\alpha(q)$ artarken biraz artacak $q$. Eşleşmeye devam edersen$\mu_0$ enerji ölçeğine göre $q$, sonunda bir noktaya ulaşacaksınız. $\alpha(\mu_0)$ paydadaki terim kayda değer bir aralık için göz ardı edilemez $q$.