Ramanujan-Sato serisinin modülerliği

Question

Ramanujan-Sato serisi $$j^*(\tau)=432\frac{\sqrt{ j(\tau)}+\sqrt{j(\tau)-1728}}{\sqrt{ j(\tau)}-\sqrt{j(\tau)-1728}}=432\frac{E_4(\tau)^{\frac32}+E_6(\tau)}{E_4(\tau)^{\frac32}-E_6(\tau)} \\ = \frac{1}{q}-120+10260 q-901120 q^2+91676610 q^3+\mathcal O\left(q^{4}\right)$$ 1. düzey Ramanujan formülünü genelleştirir. $\frac1\pi$, nerede $q=e^{2\pi i\tau}$. Buraya,$j$ Klein mı $j$-değişmeyen ve $E_k$Eisenstein serisidir. Karekökler nedeniyle, bir eşleşme alt grubu için hemen modüler bir işlev gibi görünmemektedir.$SL(2,\mathbb Z)$. Ancak, Klein ile ilgili olarak$j$-e göre değişmez $$j=\frac{(j^*+432)^2}{j^*},$$ modüler bir polinom denklemini tatmin ediyor gibi görünüyor $j$ derece $2$, şunu önererek $j^*$ dizin 2 alt grubu için modülerdir $SL(2,\mathbb Z)$. Bu doğru mu? Ve değişmezlik grubu ne olurdu?

Literatürle ilgili herhangi bir öneri çok yardımcı olacaktır, çok teşekkürler!

Answer 1

Bu $$j^*(\tau)= 432\frac{(\sqrt{ j(\tau)}+\sqrt{j(\tau)-1728})^2}{1728}=432\frac{2 j(\tau)-1728+2\sqrt{j(\tau)}\sqrt{j(\tau)-1728}}{1728}$$ Bu yüzden modülerliğe bakıyoruz $$\sqrt{j(\tau)}\sqrt{j(\tau)-1728}$$

$j(\tau)-1728$ holomorfik sıfırdan farklıdır $e^{2i\pi /3}$ süre $j(\tau)$ sıfır mertebesine sahiptir $3$ (değil $6$!!!) $e^{2i\pi /3}$, Böylece $\sqrt{j(\tau)}\sqrt{j(\tau)-1728}$ ve dolayısıyla $j^*(\tau)$ dallanma noktasına sahip olmak $e^{2i\pi/3}$modüler değillerdir.

Yine de, modüler eğrinin çift kaplaması üzerinde otomorfiktirler.

Bunu not et $f(\tau)=\sqrt{j(\tau)-1728}$ holomorfiktir çünkü tek sıfırları $j(\tau)-1728$ iki katı $SL_2(\Bbb{Z})i$. Bu$2$periyodik ve $f(\gamma(\tau))=\chi(\gamma)f(\tau)$ nerede $\chi$ karakter $SL_2(\Bbb{Z})\to \pm 1$ tarafından tanımlandı $\chi(\pmatrix{1&1\\0&1})=\chi(\pmatrix{0&1\\-1&0})=-1$ hangi faktörler aracılığıyla $SL_2(\Bbb{Z/2Z})$, aslında $\ker(\chi)$ indirgenmesi olan matrislerdir $\bmod 2$ dır-dir $\pmatrix{1&0\\0&1},\pmatrix{1&1\\1&0},\pmatrix{0&1\\1&1}$.