Sabit ön kafanın demetlenmesi

Question

Sheafification hakkında okuyorum ama bu benim için çok soyut. Sabit bir ön kafanın demet haline getirilmesi örneğini bulmaya çalışıyorum ve danışmanım bana şu örneği veriyor:$X$ topolojik bir uzay olmak ve $A$değişmeli bir grup olun. İzin Vermek$\mathfrak{A}^+$ sürekli işlevlerin ana kafesi olun, yani $$\mathfrak{A}^+(U)=\{\alpha : U → A \text{ continuous}\}$$ nerede $A$ her açık küme için ayrı topolojiye sahiptir $U$. Göstermemi istediği 3 şey var:

(1) $\mathfrak{A}^+$ değişmeli gruplardan oluşan bir demettir.

(2) Tüm saplar $\mathfrak{A}^+_x=A$.

(3) Doğal harita $f : \mathfrak{A} → \mathfrak{A}^+$ sabit demetten saplar üzerinde bir izomorfizma neden olur

(1) bir işlev olduğu için kolaydır $0$ eğer öyleyse $0$yerel olarak. Çok fazla bilgiye sahip olmadığımız için (2) ve (3) 'ün kolay olması gerektiğini düşünüyorum, ama tuhaf bir şekilde onları nasıl kullanacağımı bilmiyorum.

(2) 'de haritaları biliyorum $\mathfrak{A}^+(U)\to \mathfrak{A}^+(V)$ ne zaman $V\subseteq U$sadece kısıtlamadır. Tanımı gereği sap$\mathfrak{A}^+_x=\varinjlim_{x\in U} \mathfrak{A}^+(U)$. Ancak tanımı (sürekli işlevler grubu) nasıl$A$? Açık kümelerin yapısını bile bilmediğimiz için burada bilgimiz yokmuş gibi hissediyorum.$X$ve doğrudan sınırdan itibaren herhangi bir doğal harita görmüyorum $A$.

(3) benim için daha da belirsiz. Söyle$U$açık. Bir öğeyi doğal olarak nasıl eşlersiniz?$A=\mathfrak{A}$, bir işleve $U\to A$ içinde $\mathfrak{A}^+$? Haritaların bir diyagramı sağladığını biliyorum.$f_U(a)|_V=f_V(a)$ nerede $V\subseteq U$açık setlerdir. (2) 'ye göre, her ikisinin de sapları$A$, ama indüklenen haritanın kimlik olacağını sanmıyorum, bu yüzden bunun neden bir izo olduğunu anlamamı zorlaştırıyor?

Cebirsel Geometri alanında yeni başlayan biriyim, bu yüzden bu sorular açık olabilir. Teşekkür ederim.

Answer 1

(1) Çok daha genel (ve bu nedenle çok daha kolay!):
Keyfi bir topolojik uzay verildiğinde$Y$ bir demet var $\mathcal C_Y$ açık $X$ herhangi bir açık alt küme için gerekliliği ile karakterize $U\subset X$ sahibiz $\mathcal C_Y(U)=\mathcal C(U,Y)$sürekli işlevler kümesi $U\to Y$.
Sizin$ \mathfrak A^+$ tam olarak demet mi $\mathcal C_A$, nerede $A$ ayrık topoloji ile donatılmıştır.

(2) Değişmeli grupların morfizmine sahibiz $i:\mathcal C_{A,x}\to A$ aşağıdaki gibi tanımlanır: bir mikrop verilir $\gamma\in \mathcal C_{A,x}$ onu sürekli bir işlevle temsil ediyoruz $g:U\to A$ ve biz tanımlarız $i(\gamma)=g(x)$.
Bu morfizm, grup morfizminin açık bir şekilde tersine sahip olduğu için bir izomorfizmdir.$j:A\to \mathcal C_{A,x}$ gönderme $a\in A$ -e $j(a)= \operatorname [{const}(a)]_x$, mikrop $x$ sabit fonksiyonun $\operatorname {const}(a): X\to A$ herhangi bir noktayı göndermek $X$ -e $a$.

(3) Herhangi bir mahalle için $U\subset X$ nın-nin $x$ harita $\mathfrak A(U)=A \to \mathcal C_A(U): a\mapsto \operatorname {const}(a)$ açıkça enjekte edici ve dolayısıyla haritayı doğrudan sınırlıyor $f: \mathfrak A_x\to \mathcal C_{A,x}$aynı zamanda enjekte edici.
Surjektiflik de kolaydır: (b) bir mikrop gösteriminde$\gamma=[g]_x\in \mathcal C_{A,x}$ altındaki görüntü $f$ mikrop $[\operatorname {const}(g(x))]_x\in \mathfrak A_x$.
Ve böylece morfizmin$f: \mathfrak A_x\to \mathcal C_{A,x}$ aslında önyargılıdır.