Samuelson eşitsizliği hakkında

Question

Bir setimiz varsa $n$ gerçek sayılar: $$\Omega=x_1,x_2,x_3,..,x_n$$ aritmetik ortalama: $$A=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^nx_i$$ ve standart sapma: $$S=\sqrt{\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n(x_i-A)^2}$$ Eğer set $n$ sayılar şu şekilde sınırlandırılmıştır: $$m\le x_i\le M$$ Bhatia ve Davies tarafından kanıtlanan, Samuelson eşitsizliğinin iyileştirilmesi: $$S^2\le (M-A)(A-m)$$Sorum şu: eşitlik ne zaman geçerli? Eşitlik, sayıların herhangi bir şekilde dağılımı için geçerli midir?$\Omega?$

Answer 1

Herhangi $i$ bunu görüyoruz $S^2$ dışbükey bir fonksiyondur $x_i$diyor ki: $$\max_{m\leq x\leq M}S^2=\max_{x_i\in\{m,M\}}S^2.$$ Id est, eşitlik için oluşur $x_1=x_2=...=x_k=m$ ve $x_{k+1}=...=x_n=M.$

Şimdi, bir değer seçmemiz gerekiyor $k$, bunun için maksimum bir değer alacağız.

Umarım yardımcı olur.