Sayma Problemi: Evrak Çantaları

Question

Diyelim ki size ve bir arkadaşınıza aynı görünen dokuz evrak çantası sunuldu, bunların üçünde 100 dolar var, geri kalanı boş. İkiniz de sırayla evrak çantalarını seçiyorsunuz (ilk kişi 5'i ve ikinci kişi 4'ü seçiyor) ve sadece sonunda evrak çantaları açılıyor. Bu HW sorularının 1-4 bölümünü yaptım ancak sonuncuyu nasıl yapacağımdan emin değilim:

1. İlk giderseniz, ilk dönüşünüzde boş bir evrak çantası seçme olasılığınız nedir?
2. Diyelim ki önce gittin ve boş bir evrak çantası seçtin. İlk dönüşünüzde boş bir evrak seçmiş olmanız göz önüne alındığında, arkadaşınızın da ilk dönüşünde boş bir evrak çantası seçme olasılığı nedir?
3. Diyelim ki ilk önce gittin ve 100 dolarlık bir evrak çantası seçtin. İlk dönüşünüzde 100 dolar olan bir evrak seçmiş olmanız da göz önüne alındığında, arkadaşınızın ilk turda boş bir evrak çantası seçme olasılığı nedir?
4. Oyun, her bir kişinin tek bir hakkı olduktan sonra sona erecekse, başlasanız da başlamasanız da 100 dolarlık bir evrak çantası seçme olasılığınızın aynı olduğunu gösterin.
5. Her evrak çantası seçildikten sonra oyun bitecek olsaydı, başlamak mı yoksa ikinci olmak mı daha iyi olurdu?

DÜZENLEME: Oyunun amacı, 'kumar kötüdür' çünkü mümkün olduğunca az para kazanmaktır .

---

Benim girişimim:

1. Cevap hayır. No ile bölünen boş bir evrak çantası seçebileceğiniz yollar. bir evrak çantası seçebileceğiniz yollar. Bu, 6C1'in (6 boş evrak çantası olduğundan) 9C1'e bölünmesi 2 / 3'e eşittir.

2. Bunun cevabının 2 / 3'ünün (1. bölümden itibaren) 5C1 ile çarpıldığına inanıyorum (çünkü artık 5 boş evrak çantası kaldı ve arkadaş bunlardan birini seçiyor) 8C1'e bölünüyor (çünkü şimdi aralarından seçim yapabileceğiniz sadece 8 vaka kaldı. ). Bu yaklaşık. 0.4167.

3. Bunun $ \ frac {3C1} {9C1} \ cdot \ frac {6C1} {8C1} $ olduğuna inanıyorum çünkü ilk kişi toplam 9 para çantasından üç para çantasından birini seçmeli, ikinci kişi ise birini seçmelidir Kalan 8 evrak çantasından 6 boş evrak çantasından. Bu 0.25.

4. Buna yaklaşmayı düşündüğüm yol, dört farklı olayı düşünmekti, burada:

   • Olay A: Önce sen gidersin ve 100 dolar alırsın, sonra arkadaş boş seçer.
   • Olay B: Önce sen gidersin ve 100 dolar alırsın, sonra arkadaş da 100 dolar alır.
   • Olay C: Arkadaşınız önce gelir ve 100 dolar alır, sonra siz de 100 dolar alırsınız.
   • Olay D: Arkadaşınız önce gider ve boşluğu seçer, sonra 100 dolar alırsınız.

   Bu nedenle, önce giderseniz, 100 dolar alma olasılığı, A olayının olasılığı artı B olayının olasılığıdır. İkinciye giderseniz, C olayının olasılığı artı D olayının olasılığıdır. Bu iki ifade de $ \ frac şeklindedir. 1/3 olan {3C1 \ cdot 6C1} {9C1 \ cdot 8C1} + \ frac {3C1 \ cdot 2C1} {9C1 \ cdot 8C1} $ .

5. Bu bölümde nasıl yaklaşılacağı konusunda kafam karıştı, çünkü muhtemelen 6 boş evrak çantası ve 100 dolar ile 3 seçmenin birçok farklı dizisi var.

Herhangi bir tavsiye çok takdir edilecektir.

Answer 1

İlk önce giderseniz, aldığınız "para" valizlerin sayısı hipergeometrik bir dağılımı takip eder , çünkü beş valiziniz,$3$ "para" valizleri ve $6$ boş olanlar.

$$P(X=k) = \begin{cases} \frac{\binom{3}{0} \binom{6}{5}}{\binom{9}{5}} = \frac{6}{\binom{9}{5}} & k=0 \\ \frac{\binom{3}{1} \binom{6}{4}}{\binom{9}{5}} = \frac{45}{\binom{9}{5}} & k = 1 \\ \frac{\binom{3}{2} \binom{6}{3}}{\binom{9}{5}} = \frac{60}{\binom{9}{5}} & k = 2 \\ \frac{\binom{3}{3} \binom{6}{2}}{\binom{9}{5}} = \frac{15}{\binom{9}{5}} & k = 3 \end{cases}$$

İkinciye giderseniz, karşılık gelen olasılıklar ters sırada olacaktır. İlk giden oyuncunun daha fazla para bavul alma eğiliminde olduğunu görebilirsiniz.

Answer 2

# 2'deki cevabınız yanlış.

Diyelim ki önce gittin ve boş bir evrak çantası seçtin. İlk dönüşünüzde boş bir evrak seçmiş olmanız göz önüne alındığında, arkadaşınızın da ilk dönüşünde boş bir evrak çantası seçme olasılığı nedir?

Zaten ilk önce gittiğinizi ve boş bir evrak çantası aldığınızı varsaymanız gerekir . Bu, sadece 5'i boş 8 evrak çantası kaldığı anlamına gelir.

Cevap

$$\frac{5}{8}.$$

Yukarıdaki ile aynı nedenden dolayı, # 3'ün cevabı

$$\frac{6}{8}.$$

# 4 aldatıcıdır ve iki farklı şekilde saldırıya uğrayabilir.

Yaya yaklaşımı şudur:

• Önce gidersen para ile evrak çantası alma şansın $\frac{3}{9} = \frac{1}{3}.$

• ikinci giderseniz iki olasılık vardır - ya arkadaşınız boş bir evrak çantası seçmiş ve sonra parayla bir çantayı seçmişsiniz ya da arkadaşınız paralı bir evrak çantası almış ve sonra da parayla birini seçmiş olursunuz.

  Buradaki kombine olasılıklar $\left(\frac{6}{9} \times \frac{3}{8}\right) ~+~ \left(\frac{3}{9} \times \frac{2}{8}\right) ~=~ \frac{24}{72} = \frac{1}{3}.$

Daha zarif analiz, bir evrak çantası seçmenin matematiksel olarak rastgele bir evrak çantası teslim edilmeye eşdeğer olduğunu düşünmektir. Bir moderatör, biri sizin için diğeri de arkadaşınız için olmak üzere rastgele iki evrak çantası seçerse, moderatörün arkadaşınıza evrak çantasını vermeden önce veya sonra evrak çantanızı size vermesi , evrak çantanızın para içermesi olasılığından etkilenmez .

Düzenleme
I yanlış

Her evrak çantası seçildikten sonra oyun bitecek olsaydı, başlamak mı yoksa ikinci olmak mı daha iyi olurdu?

Önce giderseniz, size 5 evrak çantası verilecek ve arkadaşınıza sadece 4 evrak çantası verilecektir. Bu, 9 yerine 10 evrak çantası varmış ve 10. evrak çantası boş kalmaya zorlanmış gibi davranmaya eşdeğerdir .

Bu nedenle, önce giderseniz, herhangi biri paralı olabilecek 5 evrak çantanız olacak. İkinci olarak giderseniz, evrak çantalarınızdan biri (hayali 10. evrak çantası) boş kalmaya zorlanır.

Bu nedenle, ikinci olan kişi daha az para kazanmayı bekleyebilir.