Schauder temeli örneği $\ell^2$

Question

İzin Vermek $\alpha, \beta \in \mathbb C - \{0\}$ öyle ki $0 < |\frac{\beta}{\alpha}| < 1$ ve $$ x_1 = (\alpha, \beta, 0,...), x_2 = (0, \alpha, \beta, 0,...), x_3 = (0, 0, \alpha, \beta, 0,...),... $$ Olduğunu göstermektedir $(x_n)_{n \ge 1}$ Schauder temelidir $\ell^2$.

Her birini biliyorum $x_i$ aşağıdaki gibi yazılabilir $$ x_i = \sum^{\infty}_{k=1} \alpha e_i + \beta e_{i+1} $$ nerede $e_i$ giriş 1 ile kanonik vektörü temsil eder. $i$ koordinat ve geri kalanında 0, ancak koşulunu nasıl kullanacağımı bilmiyorum $0 < |\frac{\beta}{\alpha}| < 1$.

Answer 1

İpucu:

İzin Vermek $\mathbf{e}_j=\delta_j$ ($1$ içinde $j$-th bileşen, aksi takdirde sıfır). Herhangi biri için$\mathbf{x}\in\ell_2$, $\mathbf{x}=\sum^\infty_{j=1}\langle \mathbf{x},\mathbf{e}_j\rangle \mathbf{e}_i$her birini göstermek yeterli $\mathbf{e}_j$ formda $\sum_k a_{jk}\mathbf{x}_k$.

\begin{aligned} \mathbf{e}_1&=\frac{1}{\alpha}\mathbf{x}_1-\frac{\beta}{\alpha}\mathbf{e}_2\\ \mathbf{e}_2&=\frac{1}{\alpha}\mathbf{x}_2-\frac{\beta}{\alpha}\mathbf{e}_3\\ &\ldots\\ \mathbf{e}_j&=\frac{1}{\alpha}\mathbf{x}_j-\frac{\beta} {\alpha}\mathbf{e}_{j+1}\\ \ldots \end{aligned}

İndüksiyonla

$$ \mathbf{e}_1 = \frac{1}{\alpha}\sum^N_{j=1}\big(-\frac{\beta}{\alpha}\big)^{j-1}\mathbf{x}_j +\big(-\frac{\beta}{\alpha}\big)^N\mathbf{e}_{N+1} $$

Bundan ve varsayımdan $0<|\beta/\alpha|<1$, bunu görebilir $\mathbf{e}_1$istenilen ifadeye sahiptir. Diğerleri için benzer prosedür$\mathbf{e}_j$'s.