Şema teorisinde kapalılık

Question

İzin Vermek $X$ bir plan olmak ve $(U_i)_{i\in I}$ açık bir örtü,

(1) Bir alt küme verildiğinde $Z\subset X$neden yapar $Z\cap U_i$ herkes için kapalı $i$ ima ediyor ki $Z$ kapalı?

(2) Bırak $A$rulman. Bir morfizm şemaları verildiğinde$f:X\rightarrow \operatorname{spec} A$ öyle ki $f_Y:X \times_{\operatorname{spec}A} Y\rightarrow Y$ tüm afin için kapalı $A$ şemalar $Y$, bu şunu ima ediyor mu $f$ evrensel olarak kapalı mı?

Answer 1

(1) Çünkü o zaman

$$X-Z=\bigcup_i \left(U_i-(U_i\cap Z)\right)$$

dan beri $U_i\cap Z$ kapalı $U_i$ bunu görüyoruz $U_i-(U_i\cap Z)$ açık $U_i$ ve böylece aç $X$.

(2) Evet, 1'e kadar). Kontrol etmek için$f$ evrensel olarak kapalı let $Y$ herhangi biri ol $A$-sema. Bunu göstermemiz gerek$f(X_Y)$ kapalı $Y$. Ama izin ver$Y=\bigcup_i U_i$ afin açık alt şemalar için $U_i$ nın-nin $Y$. 1) göre bunu görmek yeterli$f(X_Y)\cap U_i$ herkes için kapalı $i$. Ama şunu unutmayın$f(X_Y)\cap U_i=f(X_{U_i})$. Aslında, bu Kartezyen diyagramdan

$$\begin{matrix} X_{U_i} & \to & X_Y & \to & X\\ \downarrow & & \downarrow & & \downarrow\\ U_i & \to & Y & \to & \mathrm{Spec}(A)\end{matrix}$$

Öyleyse bunu göstermek yeterli $f(X_{U_i})$kapalı. Ama o zamandan beri$U_i$ bir afin $A$-sema bunu varsayımla biliyoruz.

Answer 2

Şemaların sonlu morfizmaları kapatıldı. . İlk bölüm için buradaki cevaba bakın.

İzin Vermek $Y$ fasulye $A$-sema. Söyle$Y=\bigcup_i Y_i$ nerede $Y_i \subset Y$açık afin alt şemalardır. Gösterecek$f_Y : X\times_A Y\rightarrow Y$kapalı bir haritadır. İzin Vermek$C\subset X\times_A Y$. Ayarlamak$C_i:= C\cap X\times_A Y_i=(id \times \theta_i)^{-1}(C)$. Sonra$C_i$ kapalı $X\times_A Y_i$ açık bir alt şeması olan $X\times_A Y$. Değişmeli diyagramımız var$\require{AMScd}$ \ begin {CD} X \ times_A Y_i @> {f_ {Y_i}} >> Y_i \\ @V {id \ times \ theta_i} VV @V {\ theta_i} VV \\ X \ times_A Y @> {f_Y} >> Y \ end {CD} $f_Y(C)\cap Y_i=\theta_i^{-1}f_Y(C)=f_{Y_i}(id\times \theta_i)^{-1}C=f_{Y_i}(C_i)$ kapalı olan $Y_i$varsayımla. Yani bir önceki bölümde,$f(C)$ kapalı $Y$. Böylece$f$ evrensel olarak kapalıdır.