set mesafesi sorunu

Question

$\Omega$ açık alt kümesidir $\mathbb{R}^n$.İzin Vermek $A\subset \Omega$ kompakt alt kümesi olmak $\mathbb{R}^n$.

Mesafeyi kanıtlayın $d(\partial \Omega,A)>0$

Kanıtım, varsayalım $d(\partial \Omega,A) = \inf_{x\in A}d(\partial\Omega,x) = 0$Öyleyse bir dizi var $(x_n)\in A$ öyle ki $d(\partial \Omega,x_n) <\frac{1}{n}$ Şimdi o zamandan beri $A$ sınırlıdır, yakınsama alt dizisi vardır, $x_{n_k}\to x\in A$(dan beri $A$ kapalı.)

Yani mesafe fonksiyonunun sürekliliğine göre $d(\partial\Omega,x) = 0$ Hangi ima $x\in \partial\Omega$ (dan beri $\partial \Omega$ kapalıdır). $\partial\Omega$ ve $A$ Nedeniyle $\Omega$ açık.

Soru şu varsayımı kullanıyorum: $A$ diziyi inşa etmek için sınırlandırılmıştır, ancak aslında bu sınırlı koşul gerekli görünmemektedir, bu nedenle yalnızca varsayarsak nasıl kanıtlanır $A$ kapalı alt kümesidir $\mathbb{R}^n$ içerir $\Omega$?

Answer 1

Kompaktlığı bırakırsak bu yanlıştır: Let $\Omega=\bigcup (2n,2n+1)$ ve $A=\{2n+\frac 1 n: n \geq 1\}$. Sonra$A$ açık kümenin kapalı bir alt kümesidir $\Omega$ ve $d(\partial \Omega, A) \leq |2n-(2n+\frac 1n) |=\frac 1n $ hepsi için $,n$. Yani$d(\partial \Omega, A)=0$