Sınır koşullu GKS eşitsizliği
Ising modeli için sınır koşullu aşağıdaki GKS eşitsizliği sürümünün geçerli olup olmadığını bilmek istiyorum. Ising modelini açık düşünün$\mathbb{Z}^d$ ve $\varnothing \neq A\subset \Lambda_1 \subset \Lambda_2 \subset \mathbb{Z}^d$. İzin Vermek$x \in \Lambda_1 \setminus A$ ve $\eta_A$ sabit bir konfigürasyon olmak $A$. Aşağıdaki doğru mu? \ begin {equation} \ langle \ sigma_x \ rangle _ {\ Lambda_1} ^ {\ eta_A} \ leq \ langle \ sigma_x \ rangle _ {\ Lambda_2} ^ {\ eta_A}, \ qquad (\ star) \ end {equation} nerede$\langle \cdot \rangle_{\Lambda}^{\eta}$ Gibbs'in ölçtüğü beklentidir $\Lambda$ sınır koşulu ile $\eta$.
Orijinal GKS eşitsizliğinin serbest sınır koşuluyla çalıştığını biliyorum, yani $A=\varnothing$ve bunu herkes için ima eder $B \subset \Lambda_1$ sahibiz $\langle \sigma_B \rangle_{\Lambda_1} \leq \langle \sigma_B \rangle_{\Lambda_2}$, ile $\sigma_B=\prod_{y\in B} \sigma_y$.
Öyleyse, eşitsizliği kanıtlayabilir miyiz veya çürütebilir miyiz? $(\star)$?
Teşekkür ederim.
Prof. Yvan Velenik'in yorumundan sonra güncelleme.
Yvan'ın gösterdiği gibi, eşitsizlik $(\star)$ genel ayarda doğru değil.
Aşağıdaki gibi belirli bir ayar ile çalışıyorum. Bağlantılı bir grafik düşünün$G$ birkaç bileşen içeren: $G=A\cup B \cup C$, nerede $V(A)\cap V(B)=\varnothing$sadece bir kenar var $\{x,y\}$ arasında $A$ ve $B$ ile $y \in A$ ve $x \in B$; ve$C=D \cup E$ ile $D\cap A = \varnothing$, $E\cap B=\varnothing$ ve $B$ bağlı $D$ ve $E$ ikisine de bağlı $A$ ve $D$. Soru hala kontrol etmek
$$\langle \sigma_x \rangle^{\eta_A}_{B} \leq \langle \sigma_x \rangle^{\eta_A}_G ? \qquad (1)$$
Karmaşık yapı için özür dilerim $G$. Aslında, durumu değerlendiriyorum$G$yerel ağaç gibi rastgele bir grafiktir. Gibbs ölçüsünü kısaltmak istiyorum$G$ bir topun üzerindeki ölçüye (söyle $B$) tepe çevresinde $x$. Böylece bekleyebiliriz$A$ ve $B$ ağaçlara çok yakın (sadece birkaç döngü var $A\cup B$). Varsaymak$|G|=n$ ve $|A\cup B|$ daha fazla cevher daha az mı $(\log n)^3$.
Eşitsizlik doğru değilse, aşağıdaki gibi bir yaklaşım bekleyebilir miyiz? $$\langle \sigma_x \rangle^{\eta_A}_{B} \leq \langle \sigma_x \rangle^{\eta_A}_G + o_n(1)? \qquad (2)$$
nerede $o_n(1)$ sadece bağlıdır $n$.
Teşekkür ederim.
Yanıtlar
Ölçüleri göz önünde bulundurabilirsiniz $\Lambda_1\setminus A$ ve $\Lambda_2\setminus A$ serbest sınır koşulu ile değiştirilerek $\eta_A$ dış sınırındaki köşelere etki eden uygun bir manyetik alan ile $A$. Bu indüklenen manyetik alan negatif değilse, o zaman eşitsizliğiniz$(\star)$sadece GKS'dir. Bu özellikle aşağıdaki durumlarda geçerlidir:$\eta_A$ sadece var $+$ iç sınırı boyunca döner $A$.
Ancak genel olarak eşitsizlik $(\star)$tutmaz. Genel sınır koşulları için geçerli olsaydı$\eta$, o zaman saçma sonuçlar alırsın. Aslında, manyetik alan içermeyen Ising modelini düşünün. Sonra,$$ \langle\sigma_x\rangle_{\Lambda_1}^{\eta_A} = -\langle\sigma_x\rangle_{\Lambda_1}^{-\eta_A} \geq -\langle\sigma_x\rangle_{\Lambda_2}^{-\eta_A} = \langle\sigma_x\rangle_{\Lambda_2}^{\eta_A}, $$ iki eşitliğin dönme simetrisini ve $(\star)$. O zamandan beri$(\star)$sen de alacaksın $$ \langle\sigma_x\rangle_{\Lambda_1}^{\eta_A} \leq \langle\sigma_x\rangle_{\Lambda_2}^{\eta_A}, $$ biri bunu çıkarabilir $\langle\sigma_x\rangle_{\Lambda_1}^{\eta_A} = \langle\sigma_x\rangle_{\Lambda_2}^{\eta_A}$genel olarak yanlış olduğu kolayca görülebilir.
"Etkisini değiştirerek" ne demek istedim?$\eta_A$ dış sınırındaki köşelere etki eden uygun bir manyetik alan ile $A$" şudur: içindeki enerji$\Lambda_1\setminus A$bir sınır koşulu olduğu göz önüne alındığında $\eta_A$ açık $A$, dır-dir $$ - \sum_{\{i,j\}\subset\Lambda_1\setminus A} J_{i,j}\sigma_i\sigma_j - \sum_{i\in \Lambda_1\setminus A}\sum_{j\in A} J_{i,j}\sigma_i\eta_j = - \sum_{\{i,j\}\subset\Lambda_1\setminus A} J_{i,j}\sigma_i\sigma_j - \sum_{i\in \Lambda_1\setminus A} \Bigl(\sum_{j\in A} J_{i,j}\eta_j \Bigr) \sigma_i , $$ böylece sınır koşulunun etkisi etkili manyetik alanlar olarak görülebilir. $h_i$ köşelere etki etmek $i\in\Lambda_1\setminus A$ ve veren $$ h_i = \sum_{j\in A} J_{i,j}\eta_j. $$