Sonlu alanlar hakkında soru

Question

Ben Brezilyalıyım, bu yüzden İngilizcem en iyisi değil, bir sorun varsa özür dilerim. kullanıyorum$|F_q|$ Alanın kardinali için.

Sahibim $\mathbb{F}_q$ sonlu bir karakteristik alan $p$ ve kardinal $q$, $p$ bir asal sayıdır ve $q$ bir gücü $p$.

Bu çok uzun bir egzersiz, bunu zaten gösterdim $p=2$ $\mathbb{F}_q=\mathbb{F}_q^2$ ve için $p\neq2$ Bunu gösteririm $|\mathbb{F}_q^{*^2}|=\frac{q-1}{2}$ ve $|\mathbb{F}_q^2|=\frac{q+1}{2}$.

Sonra özellikleri gösterdim:

$x\in \mathbb{F}_q^* \Longrightarrow x^{\frac{q-1}{2}}=\pm 1;$

$x \in \mathbb{F}_q^{*^2} \Longleftrightarrow x^{\frac{q-1}{2}}= 1;$

$-1\in \mathbb{F}_q^{*^2} \Longleftrightarrow q-1\equiv 0$ (mod $4$).

Şimdi bunu göstermekte zorlanıyorum:

Eğer $-1$ ve $x$ kareler değil $\mathbb{F}_q^*$, sonra $-x$ bir kare $\mathbb{F}_q$.

Ayrıca bunu sahada göstermekte zorlanıyorum $\mathbb{F}_p$, farz et ki $$A=\{ -x^2; x\in \mathbb{F}_p \} \quad \text{and} \quad B=\{ 1+y^2;y \in \mathbb{F}_p \}$$

Bunu göstermeliyim $|A|=|B|=\frac{p+1}{2}$ve var olduğunu anla $x$ ve $y$ içinde $\mathbb{F}_p$ öyle ki $$1+x^2+y^2=0$$ ve var $a$ ve $b$ $$p|1+a^2+b^2.$$

Answer 1

Zaten kanıtladığın şeyle $(-1)^{(q-1)/2}= -1$. Bu nedenle$(q-1)/2$garip. Ayrıca$x^{(q-1)/2}=-1$. Ama sonra$(-x)^{(q-1)/2}=(-1)^{(q-1)/2}(x)^{(q-1)/2}=1$yani, kanıtladığınız şeyle yine $-x$bir karedir. QED

Sorunun geri kalanının bir kanıtı - her garip asal güç için $q=p^n$. Çarpımsal grup$\Bbb{F}_q^*$ düzenin Abelian'ı $q-1$. Harita$x\mapsto x^2$bir homomorfizmdir. Çekirdeği$\{x\mid x^2=1\}=\{-1,1\}$ 2. dereceden çünkü $1\ne -1$ dan beri $q$ tuhaf, bu nedenle resim (sıfır olmayan tüm karelerin kümesi) boyutunda $(q-1)/2$. Sonra set$S$ tüm (sıfır dahil) karelerinin $\Bbb{F}_q$ büyüklükte $(q-1)/2+1=(q+1)/2$. Sonra set$A$ ve set $B$ aynı boyutta: set $A$ -dan elde edilir $S$ ekleyerek $-$ her bir öğeye, sete $B$ eklenerek elde edilir $1$ her bir unsuruna $S$. Eğer$A$ ve $B$ o zaman kesişmedi $A\cup B$ içerecek $q+1$ elementler $>|\Bbb{F}_q|$. Bu nedenle$A\cap B$boş değil. Dolayısıyla var$x, y$ öyle ki $-x^2=1+y^2$ veya $1+x^2+y^2=0$ bunun anlamı $1+x^2+y^2\equiv 0\mod p$.