Sonlu kan ikamesi $\mathbb{Q}$-tipi basit set

Question

Bu soru biraz basitse özür dilerim, ancak oldukça özelleşmiş bir konudur, bu yüzden MO için SE'den daha uygun olduğunu düşünüyorum.

Farz et ki $X$her basit boyutta sonlu sayıda dejenere olmayan sadeliğe sahip basit bir settir. O zaman tabii ki$X$ sonlu $\mathbb{Q}$-tip (yani $H_n(X;\mathbb{Q})$ sonlu boyutludur $\mathbb{Q}$- herkes için vektör alanı $n\ge1$).

İzin Vermek $Y$ lifli bir çözünürlük olmak $X$, yani, $Y$ bir Kan kompleksi ve zayıf bir denkliğimiz var $X\stackrel{\sim}{\to}Y$. Şunu söylemek isterim ki$Y$ ayrıca sonlu $\mathbb{Q}$-tipi. Bu doğru mu?

Sıkıştığım yer burası: Sonlu olmanın $\mathbb{Q}$-type eşdeğerdir $\pi_n(Y;\mathbb{Q})$ herkes için sonlu boyutludur $n\ge2$ ve $H_1(Y;\mathbb{Q})$sonlu boyutludur. Koşulun ilk kısmı geçerli çünkü geçerli$X$ ve $Y$ zayıf bir şekilde eşdeğerdir $X$. Ancak bunu nasıl göstereceğimden emin değilim$H_1(Y;\mathbb{Q})$ sonlu boyutludur.

Herhangi bir yardım ve / veya referans çok takdir edilecektir! Ayrıca, yalnızca varsaydığımız durumda da yineleniyorum$X$ sonlu tipte olması (umarız aynı ispatla çalışması gerekir).

Answer 1

Basit kümelerin zayıf eşdeğerlikleri, basit homoloji grupları üzerinde izomorfizmlere neden olur. Özellikle, sonlu boyutlu rasyonel homoloji gruplarına sahip olma özelliği zayıf eşdeğerlikler altında korunur.

Bunu sıfırdan kanıtlamanın en kolay yolu, ücretsiz basit modül işlevinin (bu durumda, rasyonel sayılar yerine modülleri kullanırız), basit kümelerdeki Kan-Quillen model yapısından projektif model yapısına kadar bir sol Quillen işlevi olduğunu gözlemlemektir. basit modüller çünkü sağdaki ek, fibrasyonları ve döngüsel olmayan fibrasyonları korur. Özellikle, serbest basit modül işleci zayıf eşdeğerleri korur çünkü tüm basit kümeler kofibranttır. Bu nedenle, basit kümelerin zayıf eşdeğerleri, normalleştirilmiş zincirlere geçtikten sonra zincir komplekslerinin yarı-izomorfizmi haline gelen, dolayısıyla homoloji grupları üzerinde izomorfizmleri indükleyen basit modüllerin zayıf eşdeğerliklerine gönderilir.