Supremum'un tanımı
Real Analysis'deki lisans metinleri üzerine yaptığım bir gözlem karşısında şaşkınlık duyuyorum. Supremum ve infimum kavramlarının, konuya yeni başlayan öğrenciler için anlaşılması özellikle kolay değildir ve bir setin maksimum ve minimumunu anlamaları kesinlikle çok daha kolaydır (var olmadıkları gerçeği dahil) ve üst sınırların. Kişinin yapması gereken tek şey aşağıdaki gibi aralıkları belirtmektir.$[0,2]$ ve $[0,2)$ ve 2 sayısı ve 3 sayısı hakkında konuşun. Öyleyse neden bir kümenin en küçük üst sınırını tanımlamıyorsunuz? $S$ (sıralı bir alanda) için tüm üst sınırlar kümesinin minimum (mevcut) olarak $S$?
Gerçek Analiz için çok sayıda lisans metnini inceledim ve bu basit tanımı veya "minimum" kelimesini hiç bulamadım. Birçoğu onu çok daha zor bir şekilde tanımlayacaktır "bu bir üst sınırdır ve ondan kesinlikle daha küçük olan herhangi bir sayı için, bir miktar vb." Olacaktır. Birkaç kişi şunu söyleyecek: bu bir üst sınır$M$ öyle ki eğer $x$ bir üst sınırdır, o zaman $M\leq x$. Yine, neden "tüm üst sınırlar kümesinin minimumudur" demiyorsunuz? Bazıları sadece "bu en az üst sınır" diyecek, ancak bu bile minimumdan en aza doğru bir dil değişikliği ve her durumda kavram için sadece isim olarak "en az üst sınır" kullanıyorlar, sonra onu tanımlamaya devam ediyorlar kıvrımlı yolu kullanarak.
Bunu bir tartışma konusu olarak yayınlamayı kastetmiyorum, sadece üstünlüğü bu şekilde tanımlamanın neden iyi bir fikir olduğunu açıklayacak önemli bir şeyi kaçırıp kaçırmadığıma dair gerçek bir soru olarak.
Yanıtlar
Bunun "en az üst sınır" olduğunu söylemekle "tüm üst sınırların minimum kümesi" olduğunu söylemek arasında bir fark olduğunu sanmıyorum.
İzin Vermek $S$ set ol ve izin ver $M$tüm üst sınırların kümesi olun. O zaman iki olası durumumuz var:$\exists \max S$ veya $\nexists \max S$:
$\exists \max S$:
Eğer $\exists \max S$, o zaman bu şu anlama geliyor $\forall s \in S, s \leq \max S$yani bu şu anlama gelir $\max S \in M$.
Şimdi varsayalım ki $\max S$ minimum değil $M$. Bu şu demek:$\exists m \in M: m < \max S$. Sonra,$\forall x \in S, x \leq m$, Çünkü $m$aynı zamanda bir üst sınırdır. Fakat$\max S \in S$, bu yüzden bu adam $\max S \leq m$. Tanımlayıcı özelliği$m$ şuydu: $m \in M: m < \max S$. Yani bu bir çelişkidir. Bu şu demek$\max S$ gerçekten de minimumdur $M$ ve böylece $\sup S = \min M = \max S$.
$\nexists \max S$:
Şimdi varsayalım ki $\nexists \max S$. İzin Vermek$M$ tüm üst sınırların kümesi olun.
Varsayalım ki $\nexists \min M$. Bu şu demek$\nexists m \in M: \forall x \in M, m \leq x$. Bu, eğer$a_1 \in M$, sonra $\forall s \in S$: $s \leq a_1$. Ama çünkü$a_1$ o zaman minimum değil $\exists a_2 \in M: s \leq a_2 \leq a_1$. istediğimiz kadar keyfi olarak yaklaşabileceğimiz anlamına gelir.$s$. O zaman bu, bir dizi bulabileceğimiz anlamına gelir$(a_i)_{i \in \mathbb N} \in M$ öyle ki $\lim _n a_n = s$.
Şimdi izin ver $s_1, s_2 \in S$ öyle ki $s_1 < s_2$. O zaman bir dizi bulabiliriz$(a_i)_{i \in \mathbb N} \in M$ öyle ki $\lim _n a_n = s_1$. Ama keyfi olarak yakınlaşabildiğimiz için$s_1$, bu şu demek $\exists k \in \Bbb N:$ Eğer $n \geq k$ sonra $s_1 < a_n < s_2$. Bu bir çelişkidir, çünkü$a_n \in M$bir üst sınırdır. Bu şu demek$\exists \min M$.
Öyleyse sonuca varın $\sup S = \min M$ Bile $\nexists \max S$.
Yani her set için $S$, $\sup S = \min M$. Bunu göstermek için benzer bir argüman yapabilirsiniz.$\inf S = \max M$