Sürekli tersine sahip kompakt operatör

Question

İzin Vermek $K:E \rightarrow E$ normlu bir alanda kompakt bir operatör olmak $E$. İzin Vermek$R^q$ aralığı olmak $(\lambda I-K)^q$ nerede $q$ şekildedir $R^n = R^q$ hepsi için $n \geq q$. Ayrıca kısıtlama$(\lambda I - K)|_{R^q}$tersi vardır. Bu kısıtlamanın tersinin$(\lambda I-K)|_{R^q}^{-1}$ süreklidir.

Bunlar doğrusal operatörler olduğundan, sürekli, sınırlı ile eşdeğerdir. Yani,$(\lambda I -K)$ süreklidir (çünkü $K$kompakt), ardından sınırlandırılır. Dolayısıyla, bir$C > 0$ öyle ki $||(\lambda I - K)x|| \leq C ||x||$. Sahip olduğum tek ipucu, bir$C_2>0$ öyle ki $$||(\lambda I - K)x|| \geq C_2 ||x||.$$Ama bunun neden ifadeyi kanıtladığını anlamıyorum. Kısıtlama ile çalıştığım için$R^q$, $x \in R^q$ yani $(\lambda I -K)x = (\lambda I -K)(\lambda I -K)^q y$ bazı $y \in E$. Ama o zamandan beri$R^q = R^{q+1}$, $(\lambda I -K)x = (\lambda I -K)^q z$ bazı $z \in E$. Ve şimdi sıkıştım. Sonra yazmaya çalıştım$x = (\lambda I-K)^{-1}[(\lambda I-K)x]$ama hiçbir şey almadım. Herhangi bir ipucu? Teşekkürler

Answer 1

sanırım $\lambda$sıfır olmadığı varsayılıyor, doğru mu? Öyleyse,$\lambda I-K$ bir Fredholm operatörüdür $R^q$indeksi sıfır olan. Bir Fredholm operatörünün dizininden beri$T$ tarafından tanımlanır $$\text{ind}(T)= \text{dim}(\text{Ker}(T)) - \text{codim}(\text{Ran}(T)), $$ dan beri $\lambda I-K$ üzerine $R^q$ varsayımıyla $R^q=R^{q+1}$, bunu anlıyoruz $\lambda I-K$ bire birdir ve dolayısıyla ters çevrilebilir $R^q$.

Bir Fredholm operatörünün menzilinin her zaman kapalı olduğu da iyi bilinmektedir, bu nedenle $R^q$kapalıdır ve dolayısıyla bir Banach alanıdır. Son olarak, o zamandan beri$\lambda I-K$ ters çevrilebilir $R^q$açık haritalama teoremi şunu ima eder: $(\lambda I-K)^{-1}$ sürekli $R^q$.

---

Not: Burada kullanılan oldukça karmaşık sonuçların olabileceğinin farkındayım, bu nedenle lütfen yukarıdaki ifadelerden herhangi biriyle daha açık konuşmamı isteyip istemediğinizi sormaktan çekinmeyin.