Sylvester sorunu.
Sonlu bir küme $S$Düzlemdeki nokta sayısı, bu noktalardan ikisinden geçen bir çizginin üçüncü bir noktadan geçmesi özelliğine sahiptir. Tüm noktaları kanıtlayın$S$ doğrudur.
Bu sorunun aşırılık ilkesini kullanan bir kanıtını gördüm.
Noktaların eşdoğrusal olmadığını varsayalım. Çiftler arasında$(p,L)$ bir çizgiden oluşan $L$ ve bu çizgide olmayan bir nokta, mesafeyi en aza indiren birini seçiyoruz $d$ itibaren $p$ -e $L$. İzin Vermek$f$ dikinin ayağı olmak $p$ -e $L$. (Varsayım gereği) en az üç nokta vardır$a,b,c$ açık $L$. Bu, bunlardan ikisi söyle$a$ ve $b$ aynı taraftadır $f$. İzin Vermek$b $ daha yakın olmak $f$ -den $a$. Sonra uzaklık$b$ hatta $ap$ daha az $d$. Çelişki.
Sorum son bölümde. Nasıl olduğunu anlamıyorum "O zaman$b$ hatta $ap$ daha az $d$. "bir çelişki yaratır. Birisi açıklayabilir mi?
Yanıtlar
Kanıtın başında seçtik $(p,L)$ öyle ki mesafe $d$ arasında $p$ ve $L$ o çizgi üzerinde olmayan tüm çizgiler ve noktalar arasında minimumdur.
Çifti ürettiğimizde çelişki ortaya çıkıyor $(b, ap)$ daha az mesafe ile $d$minimumluk koşulu ile çelişen $(p,L)$.
"Geometri" bir etiket olabilir.
DÜZENLEME: neden $b$ daha yakın $ap$ -den $p$ için $L$, dik açılı üçgeni düşünün $\triangle afp$.
$b$ yanda $af$. Hattan uzaklığı$ap$ yüksekliğini aşamaz $\triangle afp$ baz ile $ap$.
Dan beri $ap$ hipotenüs $ap > af$.
Alanı göz önüne alındığında $\triangle afp$yüksekliğinin olduğunu görüyoruz $\triangle afp$ baz ile $ap$ yüksekliğinden daha az $\triangle afp$ baz ile $af$, hangisi $fp = d$.
Bu, istenen sonucu verir: mesafe $b$ itibaren $ap$ daha az $d$.
Neden uzaklığın görsel bir açıklaması için $B$ -e $AP$daha küçük, işte bir örnek. Tüm nokta etiketlerini büyük harfle yazdım ve$G$ ve $H$diklerin ayakları olan $B$ ve $F$ hatta $AP$, sırasıyla. Açık olmalı$PF > FH > BG$. Resmi ispat benzer üçgenler ve oranlar kullanır.
