Teğet düzlem $(1,1,1)$

Question

Teğet düzlemin yüzeye denklemini belirleyin $x^2y+z^2y-2z-y=-1$ noktadan geçen $(1,1,1)$. Yüzeyde teğet düzlemin paralel olduğu herhangi bir nokta var mı?$xy$uçak? Hangi?

$$f'_1=2xy,\ f'_2=x^2+z^2-1\\$$ Teğet düzlemin denklemi: $Z=f(a,b)+f'_1(a,b)(x-a)+f'_2(a,b)(y-b)$

$$Z=1+2(x-1)+z^2(y-1)=2x+z^2y-z^2-1$$

Yoksa ben de koymalı mıyım $z=1$ içinde $f'_2(a,b)$?

$$Z=1+2(x-1)+1(y-1)=2x+y-2$$

Answer 1

Formülünüz, yönlü türevleri hesaplayarak z boyutunu hesaba katmıyor

$f_1'(x,y,z) = 2xy$

$f_2'(x,y,z) = x^2 + z^2 - 1$

$f_3'(x,y,z) = 2zy - 2$

Ve bunları değerlendirmek $(1, 1, 1)$

$f_1'(1, 1, 1) = 2$

$f_2'(1, 1, 1) = 1$

$f_3'(1, 1, 1) = 0$

Teğet düzlemin denklemi $(a, b, c)$ tarafından verilir

$ 0 = (x-a)f_1'(a, b, c) + (y-b)f_2'(a, b, c) + (z-c)f_3'(a, b, c) $

$ 0 = (x-1)f_1'(1, 1, 1) + (y-1)f_2'(1, 1, 1) + (z-1)f_3'(1, 1, 1) $

$ 0 = 2(x-1) + y-1 $

$ 3 = 2x + y $

genel olarak düzlemin şuna paralel olmadığını unutmayın $xy$-düzlem ve her girdi için yönlü türevleri hesaplamanız gerekir. Bu örnekte beri$f_3'(1, 1, 1) = 0$ aslında bunun paralel olduğuna sahibiz $xy$-uçak.