Temel Grup Gösterimi
Şu anda Spanier'in Cebirsel Topoloji metnindeki bir problem üzerinde çalışıyorum . Spesifik olarak, Bölüm 2'deki Problem B4 üzerinde çalışıyorum.$\pi(S^1 \vee S^1)$ nonabelian.
Şimdi, metnin başlarında yazar şunu belirtir: $\pi(X,x_0)$ temel gruptur $X$ Dayanarak $x_0$. Böylece sorum şu, notasyon mu$\pi(S^1 \vee S^1)$ burada basitçe temel grubu ifade eder $S^1 \vee S^1$temel nokta seçimi olmadan? Genel olarak, gösterim$\pi(X)$ genellikle basitçe temel grup anlamında kullanılır $X$? Bu bana mantıklı geliyor çünkü temel grup$X$ temel nokta seçiminden bağımsızdır.
Son olarak, eğer $\pi(X)$ gerçekten temel gruptan farklı bir şey $X$, bunu göstermek başarılabilir mi? $\pi(X)$ nonabelian, temel grubun olduğunu göstererek $X$ nonabelian mı?
Teşekkür ederim !
Yanıtlar
Evet, temel gruptan bahsederken temel noktayı atlamak yaygındır. Bu, gösterimin kötüye kullanılmasıdır, ancak, belirttiğiniz gibi, yol bağlantılı bir uzayın temel grubu, izomorfizme kadar temel nokta seçiminden bağımsız olduğundan, genellikle zararsızdır. (Yine de, bu konuda dikkatli olunmalıdır, çünkü temel grup etiket olmayan olduğunda izomorfizm kanonik değildir!)
Yine de, notasyonun $\pi(X,x_0)$ (veya $\pi(X)$) Olduğu değil genel olarak temel bir grup için kullanılabilir. Bunun yerine genellikle denir$\pi_1(X,x_0)$ (veya $\pi_1(X)$ baz noktası bastırıldığında).
Bir temel noktaya ihtiyacınız yok çünkü $S^1\vee S^1$yol bağlı. Farklı olası taban noktalarındaki tüm temel gruplar izomorfik olacaktır.
Ve $\pi_1(X)$ genellikle temel gruptur $X$, ($\pi_n(X)$ olmak $n$-th homotopi grubu $X$haritaların homotopi sınıflarını düşündüğünüz yer $S^n$ içine $X$.)