Tensör ürün modulo genel lineer grup

Question

Varsayalım $V_1$ ve $V_2$sonlu boyutlu vektör uzaylarıdır. Sonra$GL(V_1)\times GL(V_2)$ Üzerinde davranır $V_1\otimes V_2$ve bu eylemin altındaki yörüngeler tam olarak sabit dereceli tensör kümeleridir. Bunun bir sonucu, yörünge sayısının$1+\min\{\dim(V_1),\dim(V_2)\}$.

İki vektör uzayından üçe uzandığımızda ne olacağıyla ilgileniyorum. Dizi hakkında ne söylenebilir?$GL(V_1)\times GL(V_2)\times GL(V_3)$ yörüngeler $V_1\otimes V_2\otimes V_3$? Sonsuz sayıda yörünge var mı?

Answer 1

Güzel soru! Bu bir cevap değil ama yorum olmak için biraz fazla uzun. Vektör uzaylarının hepsinin boyutu olduğunda cevabı zaten bilmiyorum$2$bu benim için biraz şok edici. Satır azaltmanın analogu ("düzlem azaltma") ile oynadıktan sonra$2 \times 2 \times 2$tensor Her şeyi daha da nasıl azaltacağımı bilmediğim tek parametreli bir aileye indirmeyi başardım. Gerçekten bu bir$2 \times 2 \times 2$ küp ama bunu nasıl dizeceğimi öğrenene kadar, işte onu yazmanın bir yolu: vektör boşluklarını adlandırın $X, Y, Z$ ve onlara üsler ver $\{ x_1, x_2 \}, \{ y_1, y_2, \}, \{ z_1, z_2 \}$. O zaman tek parametreli tensör ailesinin

$$x_1 y_1 z_1 + x_2 y_1 z_2 + x_1 y_2 z_2 + t x_2 y_2 z_2$$

(ile $\otimes$notasyonu kaydetmek için bitiştirme olarak yazılır) farklı yörüngelerdeki öğelerden oluşur veya değildir. Cevabı şu ya da bu şekilde bilen var mı? Matris kalemler için Kronecker normal formu alakalı olabilir ama henüz anlamıyorum.