Teorem Cramer-Wold.

Question

Teorem (Cramer-Wold cihazı): Rastgele bir $n$-vektör $X$ tamamen doğrusal kombinasyonların tüm tek boyutlu dağılımları tarafından belirlenir $t^TX$, nerede $t$ tüm sabit aralıklar $n$-vektörler. $$$$ Kanıtı. $ Y: = t ^ TX $ 'ın karakteristik işlevi vardır: $$ \ phi_Y (s): = E [e ^ {isY}] = E [e ^ {ist ^ TX}] $$ Her $' ın dağılımını bilirsek Y $ , CF $ \ phi_Y (s) $ olduğunu biliyoruz . Özellikle $ s = 1 $ aldığımızda, $ E [e ^ {ist ^ TX}] $ olduğunu biliyoruz . Ancak bu, $ X = (X_1, \ ldots, X_n) ^ T $ 'ın $ t = (t_1, \ ldots, t_n) ^ T $ olarak hesaplanan CF'sidir . Ancak bu X $ ' ın dağılımını belirler . $

Sorularım:

1. Eğer $ s = 1 $ bunun bir kanıtı kaybetmek genelliği yapar? Neden olmasın?
2. İspatla ilgili yorumum şudur: Vektör ve vektörün doğrusal kombinasyonu aynı karakteristik işleve sahipse, dağılımları aynıdır. Bu yorum doğru mu? 3) Teoremde 'tamamen belirlenmiş' ne anlama geliyor?

Answer 1

• İlk sorunuzda "genelliği kaybetmek" ile neyi kastettiğinizi anlamıyorum. Kanıttaki bana herhangi bir önemi varmış gibi görünen tek "genellik", bunun herhangi bir şey için çalışması gerektiğidir.$\ n$-vektör ve herhangi biri için $\ n\ $, ki öyle. Putting$\ s=1\ $ ispatta yalnızca bir adım, hangi değerlerin ne olduğuna bakılmaksızın meşru olarak atabileceğiniz bir adımdır. $\ n\ $ ve $\ X\ $ yani onlara herhangi bir kısıtlama getirmez.

• Bir vektör, girişlerinin doğrusal bir kombinasyonu ile aynı şey değildir (vektör, $\ X\ $ dır-dir $1$boyutlu ve doğrusal kombinasyon $\ 1\cdot X\ $), skaler olmalıdır. Dolayısıyla, rastgele bir vektörün ne dağılımı ne de karakteristik işlevi, bu rastgele vektörün girdilerinin doğrusal bir kombinasyonununki ile aynı olamaz. Rastgele dağıtımı$\ n$-vektör ve karakteristik işlevi, $\ n\ $değişkenler, rasgele vektörün girişlerinin herhangi bir belirli doğrusal kombinasyonunun hem dağılımı hem de karakteristik işlevi, sadece tek bir değişkenin işlevleri olacaktır .

  Cramer-Wold cihazındaki kilit nokta, yalnızca rastgele vektör girişlerinin belirli bir doğrusal kombinasyonunun değil, bu tür her doğrusal kombinasyonun tek boyutlu dağılımını bilmenizin gerekmesidir ve bu, rastgele vektör dağılımı, tek değişkenli sonsuz fonksiyon ailesinden birçok değişkenin bir fonksiyonu.