Toplamı olan sonlu toplam $x e^x$

Question

Analiz dersimde, bunu ve bunu bilseydim ispat edebileceğimi düşündüğüm iki ilgili meblağı kanıtlamalıyız. Ancak bunu çözmeye nasıl başlayacağımı bilmiyorum; herhangi bir ipucu takdir edilecektir.$$\sum_{n=0}^{\infty} \left( e^x-1-\frac{x}{1!}-\frac{x^2}{2!}-\frac{x^3}{3!}-\cdots-\frac{x^n}{n!} \right)=xe^x$$

Bunu kanıtlamanın bir yöntemi, parçalara göre toplamdan söz eder ve bununla ilgili bulduğum tek referans, kullanmaya çalıştığım ancak bana yardımcı olmayan Abel'in lemasıdır. Başka hangi çözümler var?

Answer 1

Söz konusu toplamı toplama notasyonu kullanarak yazalım:

\begin{align*} S&=\sum_{n=0}^\infty \left(e^x-\sum_{k=0}^n\frac{x^k}{k!}\right)\\ &=\sum_{n=0}^\infty \left(\sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!}-\sum_{k=0}^n \frac{x^k}{k!}\right)\\ &=\sum_{n=0}^\infty \sum_{k=n+1}^\infty \frac{x^k}{k!} \end{align*} Toplama sırasını değiştirelim: $$S=\sum_{k=1}^\infty\sum_{n=0}^{k-1}\frac{x^k}{k!}$$ Ancak not: özetin değeri şuna bağlı değildir: $n$. Bu nedenle, bu iç toplamı sabit bir zirveye sahipmişiz gibi ele alabiliriz, bu durumda sadece ile çarpıyoruz$k=(k-1)-0+1$. Yani,$$S=\sum_{k=1}^\infty k\cdot\frac{x^k}{k!}=\sum_{k=1}^\infty\frac{x^k}{(k-1)!}$$ İzin Vermek $k=m+1$: $$S=\sum_{m=0}^\infty \frac{x^{m+1}}{m!}=x\sum_{m=0}^\infty\frac{x^m}{m!}=xe^x$$ gereğince, gerektiği gibi.

Answer 2

\begin{align} & \sum_{n=0}^\infty \left( e^x-1-\frac x {1!}-\frac{x^2}{2!}-\frac{x^3}{3!}-\cdots-\frac{x^n}{n!} \right) = \sum_{n=0}^\infty \sum_{k=n+1}^\infty \frac{x^k}{k!} \\[8pt] & \begin{array}{cccccccccc} = & x & + & \dfrac{x^2} 2 & + & \dfrac{x^3} 6 & + & \dfrac{x^4}{24} & + & \dfrac{x^5}{120} & + & \cdots \\[8pt] & & + & \dfrac{x^2} 2 & + & \dfrac{x^3} 6 & + & \dfrac{x^4}{24} & + & \dfrac{x^5}{120} & + & \cdots \\[8pt] & & & & + & \dfrac{x^3} 6 & + & \dfrac{x^4}{24} & + & \dfrac{x^5}{120} & + & \cdots \\[8pt] & & & & & & + & \dfrac{x^4}{24} & + & \dfrac{x^5}{120} & + & \cdots \\[8pt] & & & & & & & & + & \dfrac{x^5}{120} & + & \cdots \end{array} \\[10pt] = {} & x + x^2 + \frac{x^3} 2 + \frac{x^4} 6 + \frac{x^5}{24} + \cdots \\[8pt] = {} & x\left( 1 + x + \frac{x^2} 2 + \frac{x^3} 6 + \frac{x^4}{24} +\cdots \right) = xe^x. \end{align}

Postscript: Belki de "aynı kalıpla devam et" anlamına gelen üç noktayla gösterilmek yerine genel biçimin açık olduğu bir şekilde ifade etmek faydalı olabilir.\begin{align} & \sum_{n=0}^\infty \sum_{k=n+1}^\infty \frac{x^k}{k!} \\[8pt] = {} & \sum_{n,k\,:\,k\,\ge\,n+1\,\ge\,1} \frac{x^k}{k!} \\[8pt] = & \sum_{k=1}^\infty \left( \sum_{n=0}^{k-1} \frac{x^k}{k!} \right) \end{align} Ama hayır $\text{“}n\text{”}$ bu toplamda görünür $n$ den gider $0$ -e $k-1$; bu nedenle toplam sadece$x^k/k!$ terim sayısıyla çarpılır; $k$: $$ \sum_{k=1}^\infty k\cdot\frac{x^k}{k!} = x\sum_{k=1}^\infty \frac{x^{k-1}}{(k-1)!} = xe^x. $$