Topların birliği dışbükeydir

Question

Verilen $X \subset \mathbb{R}^n$ ve $\varepsilon > 0$, İzin Vermek $B(X;\varepsilon)$ birliği olmak $B(x;\varepsilon)$ (merkezde olan toplar $x \in X$ ve yarıçap $\varepsilon$).

Gösterin, eğer X dışbükeyse, o zaman $B(X;\varepsilon)$ dışbükeydir.

Görüyorum ki iki unsur $x,y$ aynı topun içindeyseniz, bağlayan çizgi parçasına sahibim $x$ ve $y$ hepsi o topun içinde, çünkü içindeki tüm toplar $\mathbb{R}^n$ dışbükeydir.

Ama aynı topun içinde değillerse nasıl ilerleyeceğimi bilmiyorum.

Herhangi bir ipucu?

Answer 1

İzin Vermek $x,y\in B(X,\epsilon)$. Tanım gereği var$x_0,y_0\in X$ öyle ki $||x-x_0||<\epsilon$ ve $||y-y_0||<\epsilon$. Şimdi izin ver$t\in (0,1)$. Bunu göstermek zorundayız$(1-t)x+ty$ içinde $B(X,\epsilon)$yanı sıra. Şimdi, o zamandan beri$X$ konveks olduğunu biliyoruz $(1-t)x_0+ty_0\in X$. Ayrıca:

$||((1-t)x+ty)-((1-t)x_0+ty_0)||=||(1-t)(x-x_0)+t(y-y_0)||\leq $

$\leq(1-t)||x-x_0||+t||y-y_0||<(1-t)\epsilon+t\epsilon=\epsilon$

Yani $(1-t)x+ty\in B((1-t)x_0+ty_0,\epsilon)\subseteq B(X,\epsilon)$.

Answer 2

Aslında senin $B(X,\varepsilon)$olan Minkowsky ilaveli $X \oplus B(0,\varepsilon)$ dışbükey kümelerin $X$ ve $B(0,\varepsilon)$ (top ortalanmış $0$ yarıçaplı $\varepsilon$).

Bu bağlamda, cevap hemen: 2 dışbükey kümenin Minkowski toplamasının kendisinin dışbükey olduğunu söyleyen klasik bir teorem (Wikipedia referansında verilmiştir) vardır.