Topolojik grup nedir $ \mathbb{R}^n\ $

Question

Başka bir problem üzerinde çalışırken, topolojik grup fikrini kullanmak zorundayım. $ \mathbb{R}^n\ $. Çevrimiçi tanımlar pek yardımcı olmuyor çünkü sadece "$ \mathbb{R}^n\ $ek açıklama yapılmadan topolojik bir gruptur ”.

Neyin eklenmesi? Grubun unsurları nelerdir? Nasıl ekledikleri belli olacak mı?

Sırf ilginç kılmak için, topolojik grupla ilgili aynı sorum var $\ S^1 $.

Lütfen basit tutun. Ben uzman değilim

Answer 1

Neyin eklenmesi? Grubun unsurları nelerdir? Nasıl ekledikleri belli olacak mı?

Eğer $\mathbb R^n$ gruptur, sonra öğeleri $\mathbb R^n$grubun unsurlarıdır. Vektör ekleme deneyiminiz varsa, bu grubun öğelerini nasıl ekleyeceğinizi öğrenebilirsiniz.

$S^1$ mutlak değeri 1 olan karmaşık sayılardan oluşan çarpımsal bir gruptur. Karmaşık sayıların çarpımına aşinaysanız, özellikle üstel biçimde, o zaman bu da basittir.

Topolojik uzayın ne olduğunu bilmiyorsanız, muhtemelen onun "topolojik" kısmını anlamakta zorlanacaksınız.

Answer 2

Her şeyi çok dikkatli bir şekilde kontrol etmeyeceğim, ancak sezgisel olarak operasyon $+:\Bbb{R}^n\times \Bbb{R}^n\to \Bbb{R}^n$her zamanki gibi verilir. Bir çift vektör verildiğinde$v=(x_1,\ldots, x_n)$ ve $(y_1,\ldots, y_n)=w$, $$ +(v,w)=v+w.$$ Bunun (cebirden) bir Abelian grup yapısını tanımladığını biliyoruz. $\Bbb{R}^n$ama daha fazlası doğru. Gerçekten bunu görmek çok kolay$+$ bir harita olarak süreklidir $\Bbb{R}^n\times \Bbb{R}^n\to \Bbb{R}^n$. Bunun nedeni ise$+$ tarafından bileşen şeklinde verilir $(x_i,y_i)\mapsto (x_i+y_i)$, sürekli (aslında pürüzsüz). Ayrıca ters çevirme haritasının (toplamsal tersine bir vektör göndererek) sürekli olup olmadığını kontrol etmemiz gerekir, ancak bu ters mod haritasından başka bir şey değildir.$$ (x_1,\ldots, x_n)\mapsto (-x_1,\ldots,-x_n),$$ sürekli olan.

Daireye gelince, görebiliriz $S^1\subseteq \Bbb{C}^\times$çarpma altında bir alt grup olarak. Öğelerini temsil edersek$S^1$ gibi $e^{i\theta}$ için $\theta \in \Bbb{R}$ grup operasyonunun verildiği anlaşılıyor $(e^{i\theta},e^{i\psi}) \mapsto e^{i\theta}e^{i\psi}=e^{i(\theta+\psi)}$. Bunun tekrar sürekli olup olmadığını kontrol edebilirsiniz. Tersine çevirme haritası, karmaşık eşlenmenin kısıtlanması olarak görülebilir.$S^1$. Yani$z\mapsto \overline{z}$. Bu harita doğrusal bir dönüşümdür$\Bbb{C}$ (bir $\Bbb{R}-$vektör uzayı) ve dolayısıyla sürekli. Sürekli bir haritayla sınırlıdır$S^1\to S^1$ açısal temsillerde verilen $e^{i\theta}\mapsto e^{-i\theta}$.