Toroidal Heegaard bölünmeleri

Question

Kapalı yönelimli indirgenemez 3-manifoldun bir Heegaard bölünmesine sahip olduğumu varsayalım $M$, Heegaard diyagramıyla tanımlanmıştır $(\Sigma_{g},\{\alpha_{1},\dots,\alpha_{g}\},\{\beta_{1},\dots,\beta_{g}\})$. Eğrileri ne zaman takmak için yeterli veya gerekli bariz koşullar var mı?$M$ toroidal (veya atoroidal) mı?

Her türlü ipucu yardımcı olacaktır.

Answer 1

Hempel'in " 3-manifoldlar " eğri kompleksinden bakıldığında, ana teoremlerden biri toroidal olmak için gerekli bir kriterdir. Özellikle, 3-manifoldun toroidal olması durumunda tüm Heegaard bölünmelerinin,$\Sigma$, Sahip olmak $d(\Sigma) \leq 2$, nerede $d$Hempel mesafesidir. Bu nedenle, yüksek mesafeli Heegaard bölmeleri için aynı kağıtta yapıyı takip etmek size üzerinde çalışabileceğiniz geniş bir atoroidal manifold koleksiyonu sunar.

Diğer yöne gidersek, burada bir Heegaard bölünmesi ile verilen 3-manifoldda tori elde etmenin bir yolu var (bu tori'lerin gerekli olup olmadığını kontrol etmek benim için daha az anlaşılır). Farz et ki$c_1$ ve $c_2$ eğriler $\Sigma$ sizin tarafınızdan belirlenen tutamaçta bir halkayı bağlayan $\alpha$ eğriler ve sap gövdesinde sizin tarafınızdan belirlenen bir halka $\beta$eğriler. Bu halkaları birbirine yapıştırmak, 3-manifoldunuzda Heegaard yüzeyiyle kesişen bir simit verir.$c_1$ ve $c_2$.

Uygulamada, böyle inşa etmenin bir yolu $c_i$ ile başlamak $c_1$ ve onu "kaydırın" $\alpha$eğriler, böylece bu kayma istenen halkayı süpürür. Bu yapıyı koleksiyonlara da genellemek mümkündür.$c_1 ... c_n$ nerede $c_1$ ve $c_2$ bir halkayı bağladı $\alpha $ tutamak $c_2$ ve $c_3$ bir halkayı bağladı $\beta$ tutamak vb.

Answer 2

Abigail Thompson'ın yazdığı `` The disjoint curve property and genus 2 manifold '' makalesini buldum, burada bir Heegaard'ın 3-manifold için bölündüğünü kanıtladı. $M$ ayrık eğri özelliğine sahip DEĞİLDİR, bu durumda $M$ atoroidaldir.

İzin Vermek $M_{1}\cup_{\Sigma}M_{2}$ Heegaard olmak $M$. Bu durumda, temel basit kapalı eğriler varsa, Heegaard bölme ayrık eğri özelliğine sahiptir.$c, a$ ve $b$ açık $\Sigma$ nerede $c$ ayrık $a$ ve $b$ açık $\Sigma$, ve $a$ bir diski sınırlar $M_{1}$, ve $b$ bir diski sınırlar $M_{2}$.