Tüm setlerin sert bir endomap'i var mı?

Aug 16 2020

İzin Vermek $X$bir set olun. İki endomap$f,f':X\to X$Hangi izomorf bir bijection varsa$g:X\to X$ öyle ki $f'=g\circ f\circ g^{-1}$. Bir bijeksiyon$g:X\to X$ doyurucu $f=g\circ f\circ g^{-1}$Otomorfizmi denir $f$. Kimliği$X$olduğu önemsiz otomorfizmaları$f$. Bir endomap, önemsiz olmayan bir otomorfizme izin vermiyorsa katıdır .

Tüm setlerin sert bir endomap'i var mı?

Açıkça, belirli bir kümenin katı bir endomapının varlığı $X$ sadece kardinaliteye bağlıdır $|X|$ nın-nin $X$.

İddia ediyoruz:

Eğer $|X|\le2^{\aleph_0}$, sonra $X$ sert bir endomap'a sahiptir.

Kanıt:

İzin Vermek $X$ en fazla kardinalite olmak $2^{\aleph_0}$ve bunu gösterelim $X$ sert bir endomap var $f$. Bunu varsayabiliriz$X$ boş değil.

Eğer $X=\{1,\ldots,n\}$ ile $n\ge2$ ayarladık $f(i)=\max\{1,i-1\}$. Eğer$X=\mathbb N$ ayarladık $f(i)=\max\{0,i-1\}$.

Şimdi varsayalım $\aleph_0<|X|\le2^{\aleph_0}$. (Biz yazarız$|X|$ kardinalitesi için $X$.)

İzin Vermek $I$ katı endomapların izomorfizm sınıfları kümesi $\mathbb N$. İddia ediyoruz

(1) $|I|=2^{\aleph_0}$.

Gösterelim ki (1) şunu ima eder: $X$sert bir endomap'a sahiptir. Farzedebiliriz$$ X=\bigsqcup_{j\in J}X_j $$ nerede $\bigsqcup$ "ayrık birleşim" anlamına gelir, burada $J$ bir kardinalite $|X|$ izomorfik olmayan sert endomaplar kümesi $\mathbb N$, ve nerede $X_j=\mathbb N$ hepsi için $j\in J$. Her biri için$j$ İzin Vermek $f_j$ endomap olmak $X_j$ tip $j$. Sonra$$ f:=\bigsqcup_{j\in J}f_j $$ (açık gösterim) katı bir endomaptır $X$.

Sadece kanıtlamak için kalır (1).

İzin Vermek $X_0,X_1,\ldots$ boş olmayan sonlu alt kümeleri olmak $\mathbb N$ öyle ki:

$\bullet\ \mathbb N=X_0\sqcup X_1\sqcup\cdots,$

$\bullet\ X_0=\{0\}$.

İçin $n\ge1$ İzin Vermek $f_n:X_n\to X_{n-1}$ lifleri farklı kardinalitelere sahip bir harita olsun $f_0$ tek endomap olmak $X_0$ve tanımla $f:\mathbb N\to\mathbb N$ tarafından $f(x)=f_n(x)$ Eğer $x\in X_n$.

O zaman bunu görmek kolay $f$ katıdır ve bu tür endomapların süreklilik-birçok izomorfizm sınıfına sahibiz. $\mathbb N$.

Yanıtlar

Pierre-YvesGaillard Aug 24 2020 at 00:19

Soru oldu cevap MathOverlow üzerinde YCor tarafından.

Yalnızca yukarıdaki cümleyi içeren bir topluluk wiki cevabı göndermek istedim, ancak yazılım bunu bir yoruma dönüştürdü. Mevcut cümleyi ve YCor'un cevabından aşağıdaki alıntıyı ekledikten sonra tekrar deniyorum:

"... var (için $X\neq\emptyset$) üzerinde köklü bir ağaç yapısı $X$Otomorfizm grubu önemsizdir. Doğrusu, bunu vermek ve ifade etmek$v_0$ bir köşe için kök $v$ tanımlamak $f(v)$ gibi $v_0$ Eğer $v_0=v$ve içindeki benzersiz köşe noktası olarak $[v_0,v]$ 1 ila mesafede $v$aksi takdirde. Sonra$f\in X^X$ ve merkezleyici $\mathrm{Sym}(X)$ karşılık gelen köklü ağacın otomorfizm grubudur ve $\{\mathrm{id}_X\}$. "