Üç çaresizlik

Question

Üç çaresiz A, B ve C, sırayla tek kurşunla doldurulmuş altı silindirli bir tabancanın tetiğini çekerek Rus ruleti oynarlar. Şarjör her döndürüldüğünde, ölümcül atış düşmediği sürece ateşlenecek yeni bir silindiri rastgele seçmek için her döndürüldüğünde. Çaresizler A, B, C, A, B, C sırasına göre ateş ederler. . .. Üç çaresizliğin her biri için, bu çaresizliğin kendisini öldürecek kişi olma olasılığını belirleyin.

A'nın ölme olasılığını hesaplamalıyım $i$Deneme, yani B ve C asla ölmez. Eğer$1$Mahkemede kimse ölmez elimizde $(\frac{5}{6})^3$. Eğer$i$Mahkemede kimse ölmez biz olmalıyız $(\frac{5}{6})^3+...+(\frac{5}{6})^3=\sum_{k=0}^{\infty}k(\frac{5}{6})^3$, Çünkü

$\mathbb{P}(A)=\mathbb{P}[(A\cap B_1)\cup...\cup(A\cap B_k)]=\mathbb{P}(A\cap B_1)+...+\mathbb{P}(A\cap B_k)=\sum_{k=0}^{\infty}\mathbb{P}(A\cap B_k)=\sum_{k=0}^{\infty}\mathbb{P}(B_k)\mathbb{P}(A|B_k)$

dan beri $A\perp B_k\Rightarrow \mathbb{P}(A)=\sum_{k=0}^{+\infty}\mathbb{P}(B_k)\mathbb{P}(A)=(\frac{5}{6})^2\frac{5}{6}+...+(\frac{5}{6})^2\frac{5}{6}=(\frac{5}{6})^3+...+(\frac{5}{6})^3=k(\frac{5}{6})^3$

nerede $A=[$Ölmez$]$. Böylece A ölmeli$i+1$olasılıkla deneme $\frac{1}{6}\sum_{k=0}^{\infty}k(\frac{5}{6})^3$.

Maalesef sonuç $\frac{1}{6}\sum_{k=0}^{\infty}(\frac{5}{6})^{3k}$. Neden?

Answer 1

Gösteriminiz sorunu fazlasıyla karmaşıklaştırıyor. Silahın ilk ateş etme olasılığı$i$tetiğin çekilmesi $(5/6)^{i- 1}\cdot(1/6)$... yani birincisinin $i-1$ tetik çeker ateşlemez ve sonra $i$-biri yapar. $A$ bu durum birinci, dördüncü, yedinci vb. meydana gelirse ölür .... tetiğin çekilmesi: $i=3k+1$ biraz doğal için $k$. Yani$$ P(A)=\frac{1}{6}\sum_{k=0}^{\infty}\left(\frac{5}{6}\right)^{3k}=\frac{36}{91}. $$ Bütünlük için, çünkü $B$ ve $C$ gerek $i=3k+2$ ve $i=3k+3$ sırasıyla, $$ P(B)=\frac{5}{6}P(A)=\frac{30}{91} $$ ve $$ P(C)=\frac{25}{36}P(A)=\frac{25}{91}. $$

Answer 2

Bu sorunu herhangi bir fantezi seri toplamı olmadan çözebilirsiniz. Bunu biliyorsun:

$$ P(A) = \frac{1}{6} + \frac{5}{6} P(C)$$

Altıda bir, $A$hemen kaybedecek. Diğerinde$\frac{5}{6}$ vakaların $A$ aynı durumda olacak $C$ oyunun başında.

Sonraki sizde:

$$P(B) = \frac{5}{6} P(A)$$

Başlangıçta A kaybetmezse, $B$ olasılıkla kaybedecek $P(A)$.

Elbette şunlara da sahipsiniz:

$$P(A) + P(B) + P(C) = 1 \; ,$$

çünkü birinin kaybetmesi gerekiyor. 3 denkleminiz ve 3 bilinmeyeniniz var.