Uçaktan Kaçış

Question

Bir Pazar sabahı, sonsuz, düz bir düzlemde kendinizi tamamen yalnız bulmak için uyanırsınız. Bir büyücüyü kızdırmış olabileceğin dışında, önceki gece hakkında pek bir şey hatırlamıyorsun . Yanınızda, sayısız renkten oluşan bir palet ve size şu şekilde komut veren bir not bulacaksınız:

Bu düzlemdeki her noktayı boyamalısınız, öyle ki asla aynı renkte ve rasyonel alanda köşeleri olan bir üçgen bulamayacağım.

Bu görevi yönetebilirseniz, sihirbaz serbest kalmanıza izin verir - başarısız olur ve sonsuza kadar tuzağa düşersiniz. Büyücünün yeteneklerinden şüphe etmiyorsunuz, bu yüzden burada ucuz numaralar yok. Sorunu göz önünde bulundurarak, işe koyulursunuz - ve sayılamayacak kadar sonsuz bir süre sonra, sihirbaz sizin el işinize hayranlıkla yanınızda durur.

Sihirbaz sizi özgür kılıyor mu?

---

DÜZENLEME: Sorunun çerçevesine dayalı yanal düşünme yanıtlarını ortadan kaldırmak için, işte bulmacanın resmi bir matematiksel ifadesi:

Bir renk var mı $\mathbb{R}^2$ Aynı renk ve rasyonel alana sahip köşeleri olan bir üçgen bulmak imkansız mı?

Answer 1

Çok ilginç süper görev.

2B düzlemde, doğrusal olmayan üç nokta bir üçgen oluşturur, bu nedenle her renkten yalnızca 2 nokta kullanın. Sonsuz renklere sahip olduğunuz için, asla renksiz kalmayacaksınız. Ancak, bu bizi ölümümüzden kurtarmaz, çünkü bu görev sayılamayacak kadar zaman alır ve bizi uçağın içinde sıkışıp bırakır. Yani, buna bir süper görev gibi yaklaşmalıyız. İlk noktayı 1 dakika içinde boyayın, ikinci noktayı yarıya kadar boyayın, üçüncüyü ikincinin yarısına boyayın, vb. Sadece iki dakika içinde ve sihirbazın ne kadar uzun süre kontrol etmesi gerekiyorsa, uçak!

Düzenle:

Yukarıdaki çözüm, üzerinde sayılamayacak kadar sonsuz sayıda nokta olduğu için renklerin tükenmesi sorunuyla karşılaşır. $\mathbb{R}^2$ve sayılabilecek şekilde sonsuz sayıda renk vardır. Sayı renklerimi artırarak biraz yaklaşabilirim. Renkleri, sihirbazın bana verdiği ayrı boya lekeleri olarak düşünmek yerine, şimdi pigmentin yansıttığı ışığın dalga boyunu dikkate alacağım (boya karışımının burada nasıl çalıştığını tamamen göz ardı edeceğim). Şimdi, süper görevin her adımında, boyaları yeni bir renk alacak şekilde karıştırın (örneğin, 1. adımda boyayı$700nm$2. adımda boyayı kullanacaksınız $700.\bar01nm$, vb.). Artık sayılamayacak kadar sonsuz sayıda boya rengine sahipsiniz. Ancak, düzlemin sonsuz 2 boyutlu noktalarla dolu olduğunu hissediyorum.$\mathbb{R}^2$sadece boyalarım varken $\mathbb{R}>0$, bu yüzden hala neredeyse yeterli renge sahip değilim.

Answer 2

Elbette bu basit

Sonsuz sayıda renge sahipsiniz, bu nedenle her rengi yalnızca bir kez kullanırsınız. "Puanların" gerçek noktalar olup olmadığını belirtmediniz. Bir düzlemdeki gerçek noktalarsa, boyutları yoktur, bu yüzden onları boyayamazsınız. 1 molekül boya bile kullanılamaz.

veya

Bu görevi yönetebilirseniz, sihirbaz serbest kalmanıza izin verir - başarısız olur ve sonsuza kadar tuzağa düşersiniz.

Görevin sonsuza kadar süreceği göz önüne alındığında, görevi yaparken sonsuza kadar tuzağa düşersiniz, hiçbir sihirbaz sizi özgür kılmayacaktır.

veya

Sonsuz uzunlukta paralel tek renkli düz çizgiler çizersiniz. Aynı renkte üç köşeye sahip üçgenler olmayacak.