Vektör (Çapraz) Ürünün Tanımı

Question

Çapraz çarpımın aşağıdaki tanımı verildi:

Vektör çarpımı $\underline{a}\times\underline{b}$ büyüklükteki vektör olarak tanımlanır $\lvert\underline{a} \times \underline{b}\rvert = \vert\underline{a}\rvert\lvert\underline{b}\rvert \sin{\theta}$ ve her ikisine de dik yön $\underline{a}$ ve $\underline{b}$, ile $\theta$ ölçülen açı $\underline{a}$ -e $\underline{b}$

Anladığım kadarıyla açıları saat yönünün tersine konvansiyonla ölçüyoruz. Ve eğer denemek ve hesaplamak istersek$\underline{\hat{j}}\times\underline{\hat{i}}$ örneğin, bu iki vektör arasındaki açı $\frac{3\pi}{2}$ ve dolayısıyla yukarıdaki tanıma göre, şu büyüklüğe sahibiz: $\underline{\hat{j}}\times\underline{\hat{i}}$ dır-dir $-1$ bu imkansızdır çünkü vektörlerin büyüklükleri negatif olmamalıdır.

Burada bir yerde anlayışımla yanlış gittiğimi biliyorum, özellikle nerede olduğunu anlamıyorum.

(Ayrıca, sağ el konvansiyonunu ve $\underline{\hat{j}}\times\underline{\hat{i}} = -\underline{\hat{i}}\times\underline{\hat{j}}$. Ancak bu durumda, büyüklüğün zıt olduğu değil, tersi olan yöndür.)

Answer 1

Alıntılanan tanım dikkatsizdir: $|a\times b|=|a||b|(\sin\theta)c$ nerede $c\cdot c=1$ ve $a,\,b,\,c$sağ elini kullanan bir sistem oluşturur. Sonuç paraleldir$c$Sinüs pozitif ise, anti paralel için$c$ sinüs negatifse ve sıfır vektörü sinüs sıfırsa.

Answer 2

Çapraz çarpım aynı zamanda bir eşleme olarak da tanımlanabilir $\vec a$ ve $\vec b$bir işleve $\vec x\mapsto \det(\vec a,\vec b, \vec x)$.

Bu fonksiyon, bir hale getiren özelliklere sahip homomorfizması genellikle temel alan için vektör boşluktan ($\Bbb R$ veya $\Bbb C$).

Sonlu boyutlu vektör uzayları için, bu fonksiyonları vektör uzayına eşleyen bir eşleştirme (aslında başka bir homomorfizm) vardır, bu onları vektörlerle tanımlar (John Hughes'un işaret ettiği gibi, ortak vektörler).

Çapraz çarpımın bu tür bir görünümü, onu sadece 3B'den daha yüksek boyutlara genelleme yollarını da açar.